Prouver une égalité

celine_L

Bonjour,
comment montrer l'égalité suivante ? Juste un indice.$$-1+\sqrt{11+6\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$$Merci à vous.

troisqua

On isole la racine la plus compliquée, on élève au carré et on avance

celine_L

Merci c'est réglé

Dom

Une remarque : il ne faut pas oublier d’évoquer les signes des quantités (autour de l’égalité) juste avant de les élever au carré. 

Par exemple, on aurait pu demander de se prononcer sur l’égalité suivante :  
$1-\sqrt{11+6\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$
Bien entendu, c’est faux. 

Mais si on élève au carré les deux membres, on va trouver des choses égales…

celine_L

Pour info, j'ai été amenée à prouver cette égalité en essayant de résoudre le système suivant : 
$$\begin{cases}
x^2+y^2=6\\
x+xy+y=2+3\sqrt{2}
\end{cases}$$

stfj

@celine_L: bonjour. Le système $$\begin{cases} x^2+y^2=6\\ x+xy+y=2+3\sqrt{2} \end{cases}$$ a une interprétation géométrique dans $\mathbb{R}^2$: intersection d'un cercle de centre $0$ et de rayon $\sqrt{6}$ et d'une hyperbole. Disposes-tu d'une illustration ?

celine_L

Oui oui j'ai fait les deux courbes sur Geogebra et après j'ai résolu le système algébriquement.
Je connaissais donc les solutions mais algébriquement c'était sous la forme mentionnée plus haut. D'où ma question.

celine_L

Graphiquement on voit bien la solution entière d'ailleurs.

stfj

Les solutions du système sont graphiquement $(2,\sqrt2)$ et $(\sqrt2,2)$

celine_L

voilà

Dom

Disons que quand on dit « solution entière » il me semble que les deux coordonnées doivent l’être. 

Enfin, c’est ce que m’évoque cette manière de dire les choses. 

Rescassol

Bonjour,

Une autre méthode:
En posant  $\begin{cases} s=x+y\\ p=xy \end{cases}$, on obtient  $\begin{cases} s^2-2p=6\\ s+p=2+3\sqrt{2} \end{cases}$
On résout en $s$ et $p$, puis on résout $X^2-sX+p=0$ 

Cordialement,

celine_L

@Rescassol
c'est un peu comme ça que j'ai fait : 
j'ai posé $s=x+y$ et j'ai obtenu l'équation $s^2+2s=10+6\sqrt{2}$