Fonction de Mertens
Salut
Je cherche à montrer cette formule pour $p$ premier.
Je cherche à montrer cette formule pour $p$ premier.
$$\sum_{k=0}^{n}M\left(\left\lfloor \frac{n}{p^{k}}\right\rfloor \right)=-\sum_{k=1}^{n}\mu(pk),$$
où $M(n)=\mu(1)+\dots+\mu(n)$ est la fonction sommatoire de la fonction de Moebius dite parfois fonction de Mertens. Ce doit être simple mais je m'emmêle les pinceaux avec les doubles sommes.
Source : moi-même suite à une observation au cours d'une autre démonstration
Réponses
-
D'abord, deux remarques :
(i) Ta partie entière est inutile.
(ii) Ta somme de gauche ne va que jusqu'à $\lfloor \log n / \log p\rfloor$ : tu peux donc l'écrire sous forme de série.
Ensuite, ta somme de droite, que je note $S(n,p)$, est égale à
$$S(n,p) = - \sum_{\substack{k \leqslant n \\ (k,p)=1}} \mu(pk) = \sum_{\substack{k \leqslant n \\ (k,p)=1}} \mu(k) = M(n) - \sum_{k \leqslant n/p} \mu(pk) = M(n) + S(\tfrac{n}{p},p)$$
d'où, en itérant
$$S(n,p) = M(n) + M(n/p) + S(\tfrac{n}{p^2}, p) = M(n) + M(n/p)+M(n/p^2) + S(\tfrac{n}{p^3}, p) = \dotsc$$
et la somme $S(n/p^k,p)$ s'annule dès que $k > \log n / \log p$. -
Super merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres