Non raisonnement par l'absurde

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Réponses

  • Dans les démonstrations qui utilisent le RPA :
    - on commence par « non(A) »
    - on en déduit « Faux »
    - on termine par « Donc A »

    Avec des tables de vérité, je comprends bien que c’est « = ». 
    Mais sans cela il m’avait semblé que c’était « non(non(A)) <=> A », ce que l’on appelle « l’axiome du RPA ». 
    Idem pour le raisonnement par contraposée : « (A=>B) <=> (non(B)=>non(A)) ». Je n’oserais pas mettre un « = » à la place du « <=> ». 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Ok je vois, il y a peuttre un peu de flou sur les notations.

    Note : J'ai (beaucoup) corrigé mon message précédent.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    "Donc « non(non(A))=A » équivaut à « (A ou non((A)) toujours vraie »."
    C'est très très imprécis. Je ne vois aucune quantification sur $A$. Et puis, dans quel système de déduction montrerait-on cette équivalence ?
    En logique classique, il serait complètement idiot de se fatiguer à montrer l'équivalence de deux tautologies, on est bien d'accord ? La question fait par contre sens en logique intuitionniste.
    On peut alors tester sémantiquement : les valeurs de vérité sont des ouverts d'un espace topologique $X$, le "ou" et le "et" sont bien sûr la réunion et l'intersection, le "non" est l'intérieur du complémentaire (le plus grand ouvert disjoint).
    Soit $A$ un ouvert de $X$. Si $A \vee \neg A=X$, alors $A$ est ouvert et fermé et il est clair que $\neg\neg A=A$.
    Par contre en prenant $X=\R$ et $A=\R_+^*$, on a $\neg \neg A=A$ mais $A\vee \neg A$ n'est pas $X$ !
    Ce qu'on a toujours, c'est $\neg(A\vee \neg A)=\emptyset$ et donc $\neg\neg(A\vee \neg A)=X$.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Ok si, d'abord, au lieu de dire « équivaut », je tente d'employer le terme que j'avais le plus précisemment en tête : « dérive de » (et il y a donc bien un sens, pas comme dans l'équivalence). Sauf qu'on peut dire quoi, quand les deux formules peuvent se dériver l'une de l'autre (c'est-à-dire une fois, on met une formule dans les axiomes de la logique, et elle peut se dériver en une autre formule, ou alors on met cette dernière formule dans les axiomes de la théorie et elle peut aussi se dériver en la première).
  • Tu veux montrer qu'une tautologie classique "dérive" d'une autre tautologie classique en logique classique ?  Toujours aussi farfelu !
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Pas trop je pense, plutôt qu'une tautologie $A$ se dérive à partir de tels axiomes $T+B$, et que la tautologie $B$ se dérive aussi à partir des axiomes $T+A$.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Qui est le $T$ de ton dernier message ? Le $A$ ? Le $B$ ? Tu "dérives" dans quelle logique ?
    Si tu veux te lancer dans la théorie de la démonstration, fais-le avec sérieux.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    @Thierry Poma : mon exemple de réel non irrationnel qui n'est pas rationnel peut se comprendre "philosophiquement", sans technique de topos.
    Dans ce cadre les intervalles ouverts de $\R$ peuvent être vus comme des "états de connaissance" : plus l'intervalle est petit, meilleure est la connaissance. Un "réel" est une fonction continue à valeurs réelles, quand on la restreint à des intervalles de plus en plus petits, on a une connaissance plus précise de ce "réel".
    Un "rationnel" est une fonction continue à valeurs rationnelles ; on peut la restreindre à des intervalles ouverts de plus en plus petits, elle sera toujours rationnelle.
    Un "irrationnel" est un "réel" dont on peut dire avec certitude qu'il n'est pas rationnel parce qu'on ne le verra jamais rationnel, quelle que soit la précision de connaissance qu'on ait. Autrement dit, une fonction continue à valeurs réelles dont la restriction à un intervalle ouvert n'est jamais une constante rationnelle.
    Un "non irrationnel" est un réel  dont on peut dire avec certitude qu'il n'est pas "irrationnel" parce qu'on ne le verra jamais "irrationnel", quelle que soit la précision de connaissance qu'on ait. Autrement dit, une fonction continue à valeurs réelles telle que pour tout intervalle ouvert on peut trouver un intervalle ouvert plus petit où notre fonction est une constante rationnelle.
    L'escalier du diable est un tel "non irrationnel", et il n'est évidement pas rationnel.
  • C’est une question de terminologie et il faut quand même avouer qu’elle n’est pas évidente parce que pour le pékin moyen (qui sait lire donc qui sait décortiquer une suite de mots), une preuve par l’absurde, ben c’est une preuve qui utilise l’absurde, autrement dit, une preuve où on démontre un truc en faisant des trucs qui arrivent à un autre truc, délirant celui-là.
    Certes, on est libre de ses définitions en mathématiques, mais c’est quand même mieux quand elles sont éclairantes et qu’elles évitent de se casser la gueule.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Vassillia
    Modifié (August 2022)
    @GaBuZoMeu, Juste parceque ta remarque sur le quantificateur m'a surprise et que tu as l'impression que tout ça est philosophique. J'ai mis l'ordre rantanplan < intuitionniste < classique parce que "c'est comme ça" pour intuitionniste < classique et qu'il fallait bien que je trouve un moyen de vous faire rentrer dans mon monde en partant du votre. Il se trouve que cela a un peu fonctionné quand même mais dans ma manière de faire j'ai totalement viré la logique classique et je ne me sers plus que de la logique intuitionniste telle que je la comprends moi.

    J'ai essayé de faire une version qui pourrait correspondre à tes habitudes. En fait, l'intuitionnisme, c'est l'absurde, je m'explique, j'ai à ma dispo la logique rantanplan, cela correspond pour moi à la classique avec non(non(A))=A en tenant juste compte de la parité du nombre de non comme un ordinateur.
    Je rajoute la notion d'absurde :
    si en supposant A, on peut déduire quelque chose d'absurde donc on peut conclure non A
    si en supposant non A, on peut déduire quelque chose d'absurde donc on peut conclure (non(non(A))

    Et puis c'est tout, fin de l'affaire, ensuite je peux réutiliser la logique rantanplan pour avoir non(non(A))=A sans aucun souci si je veux. Pour moi c'est nettement plus puissant de pouvoir choisir entre (non(non(A)) ou A, c'est du constructivisme, je choisis à chaque étape comment j'ai envie de faire en fonction de mes connaissances ou intuition de ce qui pourrait me servir par la suite.
    Je ne suis pas sûre que ce soit bien autorisée mon histoire, la différence fondamentale entre l'apagogie positive et l'apagogie négative c'est ici que je la mets pas avant me concernant, la différence est dans le fait qu'il est possible d'avoir non(non(A)) union A qui ne soit pas tout l'univers. Par contre, il n'y a pas de différence technique entre réfutation et RPA pour la bonne raison que j'ai viré le RPA dans le sens technique où tu le définis. Le titre du fil est en ce sens bien choisi.

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • On peut adopter la terminologie "apagogie positive", elle est beaucoup plus éclairante et nettement plus classe. Et tout le monde peut voir que la démonstration bateau de "$\sqrt2$ n'est pas rationnel" est une apagogie négative.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Vassilia, je ne vois vraiment pas où tu vas.
    "tu as l'impression que tout ça est philosophique". Absolument pas ; tout ça est mathématique et relève de la branche des mathématiques qui s'appelle théorie de la démonstration.
    "il est possible d'avoir non(non(A)) union A qui ne soit pas tout l'univers" Coquille ? Tu ne t'y retrouves plus dans les "non" ?
  • Vassillia
    Modifié (August 2022)
    Ah d'accord si tu veux mais la théorie de la démonstration, je t'avoue que je n'y connais pas grand chose, pour moi, c'est juste lié à ma manière de penser
    Coquille. non(non(A)) donc A ne soit pas autorisée
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • J’ai vérifié hier, la démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ est prise comme exemple de raisonnement par l’absurde dans le Tout en un de Ramis et Warusfel.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • @nicolas.patrois : je pense que tu n'es pas idiot, tu es donc capable de répondre à la question suivante.
    La démonstration usuelle du fait que $\sqrt2$ n'est pas rationnel est elle une apagogie positive ou une apagogie négative ?
    Rappel :
    Apagogie négative : on suppose P, et on en déduit une conséquence absurde. On a démontré non P.
    Apagogie positive : on suppose non P, et on en déduit une conséquence absurde. On a démontré P.
  • Tu viens donc de démontrer que ni Ramis, ni Warusfel n'étaient des fogiciens, aka des logiciens auto-proclamés du forum. 
    Supposons en effet que Ramis ait été $\sqrt 2$. Alors, il aurait été irrationnel. Mais en fait, il a été démontré qu'ils passaient
    leur temps à élever des pigeons voyageurs dans leur guitoune du 106, activité rationnelle s'il en est. Et, en effet, la logique ne consiste pas à se demander quels sont les résultats qui te plaisent, mais à déterminer quels sont les résultats inévitables.
  • pldx1 : franchement, tes interventions sont inutiles et toxiques. Vraisemblablement les auteurs ont-ils utilisé l'apagogie négative et intitulé leur raisonnement par tradition "raisonnement par l'absurde", ce que l'on fait dans le secondaire. C'est tout, il n'y aucune démonstration...

    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Je poursuis dans la ligne du "réel" non irrationnel qui n'est pas rationnel. On a vu que l'escalier du diable en est un exemple dans un contexte exotique. Et qu'est-ce qu'un "réel" non non irrationnel ? C'est une fonction continue à valeurs réelles $f$ qui restreinte à n'importe quel intervalle ouvert $I$, n'apparaîtra jamais comme non irrationnelle. Pour tout intervalle ouvert $I$, il existe un intervalle ouvert $J$ contenu dans $I$ tel que pour tout intervalle ouvert $K$ contenu dans $J$, $f|_K$ n'est pas une constante rationnelle. Ceci revient à dire que pour tout intervalle ouvert $I$, $f|_I$ n'est pas une constante rationnelle. Autrement dit, $f$ est un irrationnel. Un "réel" non non irrationnel est irrationnel. C'est bien normal.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    En effet, on ne sait pas à quoi il joue. 
    Il élude et brode en tournant autour du pot et en restant bien à l’écart. Les métaphores permettent de ne jamais être dans la rigueur.
    Pierre, cette démonstration fait-elle selon toi, techniquement, appel à un raisonnement par l’absurde ?
    Faut-il rappeler Rantanplan ou je ne sais qui d’autre pour s’en sortir, fuir et ne pas répondre explicitement ?
  • Ce n’est pas une question d’être idiot ou bien d’avoir fait du X.
    Le problème est que la terminologie est elle-même casse-gueule, les six pages du fil le prouvent.
    Apagogie négative et apagogie positive, au moins ça c’est clair ; parce que dans l’expression « raisonnement par l’absurde », ben on raisonne et on prouve un truc en arrivant en bout de course à l’absurde. Je me demande d’ailleurs de quand date cette restriction à une seule des deux apagogies (et la raison d’aller contre le sens de l'expression pour le pékin moyen).
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Thierry Poma,
    J’ai interrogé quelques profs (formation fac ou prépa, CAPES et/ou Agrégation [interne/externe]) sur cette démonstration, voilà le dialogue, en gros. Ils savent tous dire qu’un RPA c’est le fait de nier la conclusion et d’arriver à une absurdité (et d’ailleurs ça c’est unanime) : 
    —début de l’histoire—
    - si, bien sûr que c’est un raisonnement par l’absurde 
    - non, tu n’as pas commencé par nier la conclusion 
    - si, j’ai supposé r rationnel 
    - heu… ce n’est pas ça la négation !
    - ben pour moi, r irrationnel, quand on le nie, ça donne r rationnel
    —fin de l’histoire—

    En ce sens, d’une part, ils partent bien, d’autre part ils utilisent non(non(r rationnel)) donc r rationnel qui est l’axiome du RPA. 
    C’est pour ça que s’ils commençaient par rédiger : 
    « supposons que r n’est pas irrationnel, alors r est rationnel. Donc […] ». Il y a bien utilisation du RPA.
    Je crois moi même qu’ils ne savent pas que déjà c’est du RPA. 

    Ensuite, le vrai truc qu'ils ne savent pas, c’est que « non(truc) » est définie par « truc => absurde ».
    J’ai pu le vérifier aussi. 
    Encore une fois, il n’y a aucune moquerie ni critique.
    Je suis d’ailleurs un produit d’une formation sans théorie de la démonstration. 
  • Dom a dit: le vrai truc qui ne savent pas, c’est que « non(truc) » est défini par « truc => absurde ».

    Le vrai truc qui savent, c'est que "$A \implies B$"  est défini par "$non\; A\; ou\; B$". Le simple fait d'utiliser "$\implies$" pour définir "$non$" est toxique. C'est pourtant simple: lorsque l'on veut utiliser un concept $X$ qui diffère du concept $Y$ qui est plus largement utilisé, on ne commence pas par essayer d'éjecter le concept $Y$ de son propre vocabulaire. On en arrive à: dans un cadre de logique intuitionniste il semble utile de distinguer entre diverses sortes de réduction à l'absurde (grand bien fasse à ceux qui se placent dans ce cadre). Dans un cadre de logique rantanplan, celle de quasi tout le monde, il n'y a aucune utilité à distinguer entre ce qui s'appliquerait à des assertions écrites sous forme négative et ce qui s'appliquerait à des assertions écrites sous une forme non-négative (grand bien fasse à ceux qui se placent dans ce cadre).

     @Thierry Poma: dans l'assertion: "augurus augurem ridet", il n'est pas précisé si "augurem" en est content ou pas. Il pourrait donc être utile de raffiner le concept de "ridet", de façon à avoir un ridet positif et un ridet négatif.  
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Merci Pierre pour cette réponse. 
    J’insistais lourdement car il suffisait d’utiliser toutes autres expressions que « raisonnement par l’absurde ». D’ailleurs tu te gardes bien de l’utiliser. 
    En effet, en première année, j’ai appris ça :  
    1)
    Les tables de vérités à valeurs dans {V;F}
    La table du ET, la table du OU, la table du NON
    A => B signifie non(A) ou B
    Les lois de De Morgan 
    Définition de ce qu’est la contraposée. 
    2)
    La négation des phrases quantifiées (le « il existe » qui devient « pour tout » et vice versa)
    3)
    Aucune définition ni mention de « Faux » ou « absurde ». Peut-être des exercices avec des tautologies ou négation de tautologies (ça porte un nom ?).
    4)
    Puis vient le passage « Raisonnement par l’absurde ». 
    « pour démontrer A=>B, on démontre que A et non(B) est faux » 
    et le passage en français que tout le monde a retenu (on le voit même ici, tout le monde est d’accord et énonce « pour démontrer une proposition P, on suppose non(P) et on montre que ça conduit à une contradiction »). 
    Il y a bien un truc mal ficelé de mon point de vue.
    Les experts vont peut-être mieux le déceler que moi. 
    Pourquoi ne pas relier « A => faux » à « non(A) » ?
    Si ça n’est pas une définition, ce serait peut-être bien d’en faire un théorème ? 
    Pourquoi ne pas enchaîner avec « du coup non(A) = faux » c’est « non(non(A)) » et quand on en déduit A ça s’appelle un raisonnement par l’absurde ». 
    Pourquoi d’ailleurs donner un nom à cette méthode puisque c’est juste non(non(V))=V ou non(non(F))=F ?
    Les théories naïves ne me gênent pas, je suis d’accord que je les utilise tous les jours. Dire « je fais un RPA » et ainsi utiliser des grands mots d’un côté et annoncer « bah pour moi c’est évident que le contraire de irrationnel, c’est rationnel » sans se rendre compte ni même savoir que c’est du RPA, je trouve cela ridicule. 
    Trouvons un nom banal. 
    D’ailleurs j’ai souvent entendu « preuve par l’absurde » ou « démonstration par l’absurde » qui ne souffre pas du défaut de sémantique. Depuis le début je mets en gras le terme « raisonnement », car collé à « par l’absurde » c’est plus précis. 
    C’est tout ce que je dis, finalement.
    Édit : « détour par l’absurde » si l’on veut aussi. Pas en tant que terme technique mais juste une expression large qui dit « je pars d’un truc et j’en déduis une absurdité ».
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Il est vrai que ces logiciens autoproclamés du forum, c'est une vraie plaie. Il y en a un qui, du haut de son savoir sachant, nous déclare que "Le simple fait d'utiliser "⟹" pour définir "non" est toxique."
    Comment fait-on pour démontrer $A\implies B$ ? On suppose $A$, on en tire comme conséquence $B$, et voila, $A\implies B$ est démontré par déchargement d'hypothèse, comme on dit. Et puis, si l'on a à la fois $A$ et $A\implies B$, on en déduit $B$.
    Comment fait-on pour démontrer $\neg A$ ? On suppose $A$, on en tire comme conséquence $\bot$, et voila, $\neg A$ est démontré par apagogie négative, comme on dit. Et puis, si l'on a à la fois $A$ et $\neg A$, on en déduit $\bot$.
    Il n'y a pas de doute, c'est vraiment toxique d'expliquer que $\neg A$, c'est $A\implies \bot$.
  • GG
    GG
    Modifié (August 2022)
    Comment fait-on pour démontrer A⟹B ? On suppose A, on en tire comme conséquence B

    Pas forcément. Si je travaille avec Bourbaki, je peux démontrer $K \implies \neg A$, puis que $\neg K \implies B$

    Comment fait-on pour démontrer ¬A ? On suppose A, on en tire comme conséquence 

    Pas forcément. Si je travaille dans l'arithmétique de Peano. je peux appliquer l'axiome $\forall x \neg s(x) = 0$ et l'axiome logique $(\forall x \neg s(x) = 0) \implies \neg s(3)$ pour montrer $\neg s(3) = 0$.
  • Merci GG pour cette remarquable intervention.
  • pldx1
    Modifié (August 2022)
    GaBuZoMeu a dit: Comment fait-on pour démontrer $A\implies B$ ? ...
    Quelle est donc la définition de cet $A \implies B$ ? Ou bien il s'agit du $A\;ou\,non\;B$ de quasiment tout le monde et alors il serait toxique de réutiliser $\implies$ pour définir "non". Ou bien le "$\implies$" de GaBuZoMeu n'est pas le $A\;ou\,non\;B$ de quasiment tout le monde et alors il est toxique de le noter de la même façon. Il ne suffit pas de squatter avec obstination les définitions usuelles pour devenir légitime à le faire.

    Edit: Comme indiqué dans mon précédent message, et souligné par Martial dans le message suivant,  $A \implies B$ est $non\;A\;ou\;B$ et pas autre chose. Merci à lui pour avoir signalé ce lapsus.
  • @pldx1 : d'abord c'est pas $A \lor \neg B$, mais $\neg A \lor B$. Et pis je trouve que tu emploies beaucoup les mots "toxique" et "squatter". Tout cela me paraît grave chelou.
  • Une coquillette. 
    C’est tellement ancré dans ma tête, comme
    une poésie qu’on récite inlassablement. Je suis pourtant davantage visuel mais là c’est très auditif :
    « P implique Q c’est non P ou Q ».
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    $\implies$ est un connecteur logique, comme $\wedge$, $\vee$, $\neg$. Quelle est la définition de $A \vee B$ ? de $A\wedge B$ ? de $\neg A$ ? Pourquoi tiens-tu absolument à définir $\implies$ à partir de ces autres connecteurs ?
    Le $\implies$ en logique classique (comme en logique intuitionniste) n'est-il pas entièrement déterminé par les propriétés que j'ai données, à savoir$$ \dfrac{\Gamma, A\vdash B}{\Gamma \vdash A\implies B}\qquad \dfrac{\Gamma\vdash A\quad \Gamma \vdash A\implies B}{\Gamma\vdash B}$$
    Autrement dit, $A\implies B$ est le plus grand machin dont l'inf avec $A$ est plus petit que $B$ (le $\vdash$ ci-dessus peut se lire comme "inférieur ou égal").
    Et à partir de ces propriétés, on peut constater qu'en logique classique $A\implies B$ est équivalent à $\neg A \vee B$, ou alors que $A\vee B$ est équivalent à $\neg A \implies B$ (avoir $A$ ou $B$, c'est si on n'a pas $A$, alors on a $B$). Tiens c'est pas mal ça : on part des connecteurs $\wedge$ et $\implies$ et de la constante propositionnelle $\bot$, et on définit $\neg$ et $\vee$  à partir de ça.
    PS. Suis-je bête ! On peut aller plus loin dans notre effort d'économie. Puisque $A\wedge B$ c'est kif-kif $\neg(A \implies \neg B )$ il suffit de $\implies$ et $\bot$.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    ply:= (x,y) -> 1-x+xy 
    non:=(x)-> ply(x,0);
    met:=(x,y)-> non(ply(A,non(B)); mou:=(x,y)-> ply(non(A),B);



  • Il suffit de $/$, la barre de Sheffer
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Oui, mais je voulais $\implies$ à la base.
  • Il suffit de $|$, la barre de Sheffer
    Qui est verticale.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Foys
    Modifié (August 2022)
    La possibilité de définir (en logique du premier ordre) des connecteurs à partir d'autres est une des propriétés commodes de la logique classique. Mais en logique intuitionniste la majorité de ces idées ne fonctionne plus (perte des lois de Morgan etc).
    Signalons toutefois la possibilié de définir $\Rightarrow$ avec $\wedge$ et $\Leftrightarrow$:
    En logique intuitionniste on a l'équivalence entre $A \Rightarrow B$ et $A \Leftrightarrow (A \wedge B )$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Xavier Var
    Modifié (August 2022)
    Bonjour.
    J'ai lu attentivement les six pages de ce fil. Merci pour ces éclaircissements ! Je tombe de haut. Il m'a fallu trois jours pour relire et relire ce fil jusqu'à ce que tout devienne clair (enfin je l'espère).
    Afin de bien vérifier les acquis dites-moi si je me trompe :
    1) La démonstration classique du théorème de Heine se démontre par l'absurde (je suppose f n'est pas (coquille réparé) uniformément continue, blablabla puis contradiction).
    2) Je veux montrer que x n'est pas dans A, je le suppose dans A, blablabla puis contradiction. Ici je n'ai pas fait de démonstration par l'absurde.
    3) Je veux montrer qu'un ensemble est vide. Je le suppose non vide, blablabla puis contradiction. Ici par contre j'ai utilisé le RPA.
    4) Russell démontre qu'il n'existe pas un ensemble de tous les ensembles. Il utilise une preuve sans utiliser le RPA.
    5) Je veux montrer qu'un nombre réel est nul. Je le suppose non nul, blablabla puis contradiction. J'ai utilisé le RPA.
    Quelle est ma note sur 5 ? Si ce n'est pas 5, laissez-moi réparer mes erreurs.
  • Bon dimanche !
    1)  Coquille ?
    3) Tu veux montrer qu'il n'existe pas de $x$ dans $A$ ?
    4) N'utilise-t-il pas le tiers exclus ?
  • GG
    GG
    Modifié (August 2022)
    3) Non, parce que "vide" n'est pas une notion primitive. C'est non habité, et habité, c'est il existe un élément dans.
    Donc tu supposes habité, blabla, contradiction. Donc vide, par définition de la négation. Pas de RPA.
    En logique intuitionniste, un ensemble habité n'est pas vide, mais un ensemble non vide n'est pas forcément habité !
  • Xavier Var
    Modifié (August 2022)
    Bonjour GaBuZoMeu

    1) Oui coquille pardon ! Je suppose que f n'est PAS ...
    3) Par exemple je prends f une application de E dans F, et je veux montrer que l'image directe de l'ensemble vide par f est vide, donc que si A est vide, alors f(A) est vide.
    Je suppose que f(A) n'est pas vide, blablabla 
    puis contradiction. J'ai bien fait du RPA ?
    4) Oui il fait une distinction de deux cas. Mais la démonstration globale n'est pas une apagogie négative ?
  • Ah merci GG ! 
    (Avec mes mots). Je veux montrer que A est vide, donc sous-entendu "non habité". Mais comme cela peut s'exprimer par NON(habité), une simple preuve par apagogie négative suffit !
  • GG
    GG
    Modifié (August 2022)
    4) On suppose un ensemble $U$ qui contient tous les ensembles. Par application du schéma de sélection, il existe un ensemble $K$ tel que
    $\forall x$ $( x \in K \Leftrightarrow (x \in U \wedge x \notin x))$

    Si $K \in K$, alors $K \notin K$, donc $K \notin K$. Mais alors $K\in K$, contradiction. Il n'existe donc pas un tel $U$. Cela me semble valable en LI, sans tiers exclu, donc.
  • Je me perds...  :o
  • Peut-on me donner des exemples à travailler comme je l'ai fait plus tôt, histoire de vérifier définitivement mes acquis ?
  • En théorie de la démonstration, on travaille avec un langage formalisé (formules du premier ordre etc.). Ça permet de lever les ambiguïtés. C'est pour cela que quand tu déclares vouloir montrer que $A$ est vide (apparence positive, on ne voit pas de négation), je te demande si tu veux montrer qu'il n'existe pas de $x$ dans $A$ ($\neg(\exists x\ x\in A)$).
  • Oui ça j'ai bien compris. Et pour l'histoire de Russell ? J'ai l'impression que GG n'est pas d'accord avec toi. 
  • Si tu dis :
    Si $x \in K$, alors $x \notin K$ et $\perp$ (contradiction), et si $x \notin K$, alors $x \in K$ et $\perp$,
    Autrement dit, $x \in K \Rightarrow \perp$ et $x \notin K \Rightarrow \perp$, et donc $(x \in K \vee x \notin K) \Rightarrow \perp$.
    Avec le tiers exlus, tu en déduis donc $\perp$.
    Mais si raisonnes consécutivement comme je l'ai fait, tu vois que le tiers exclus n'est pas nécessaire.
  • Parfait ! Donc GaBuZoMeu se trompait à moitié si j'ose dire. 
    Bon, me reste plus qu'on me donne des exemples  :) 
  • GG
    GG
    Modifié (August 2022)
    Fais des maths (constructives) ! :smile:
    Par exemple Bishop, Foundations of constructive analysis, ou Mines and al, A course in constructive algebra, ou encore Lombardi et Quitté, Algèbre commutative, Méthodes constructives.

    Sinon tout ça reste lettre morte et ne peut que t'embrouiller le cerveau et l'encombrer inutilement !

    (Cela dit, le "Faites ce que je dis mais pas ce que je fais" ne m'a jamais fait peur ! :) )
  • J'ai réuni sur un livre (Les raisonnements mathématiques de Dany-Jack) quelques exemples d'apagogies. Je mettrai AP ou AN.



    AN



    AN



    AN



    Là j'ai un peu de mal à voir le truc. Je ne vois pas de "négation"



    Là aussi :/



    a) AN



    AN : comme pour l'irrationalité de la racine carrée de 2.
  • Thierry Poma
    Modifié (August 2022)
    Xavier Var : bonjour.
    Exercice 42 : supposons que $f$ admette des limites distinctes $l$ et $l'$. (...) Perso, je ne vois pas la pertinence de passer par ce genre de raisonnement. J'aurais écrit : si $l'$ réel est tel que $\lim\limits_{+\infty}f=l'$, alors (...). Ainsi obtient-on que $l=l'$.
    Exo 43 : supposons que $f$ ne conserve pas le même signe, équivalente avec (TE) à supposons que $f$ change de signe.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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