Non raisonnement par l'absurde

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Réponses

  • "la définition d'un mot peut évoluer au cours du temps, elle n'appartient à personne pas plus que la logique n'appartient à qui que ce soit"
    Il y a une branche des mathématiques qui s'appelle théorie de la démonstration dans laquelle "raisonnement par l'absurde" a un sens technique bien identifié.
    Et la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt 2$ qui est très souvent donnée en exemple n'est pas un RPA dans ce sens technique.
    Rien de plus, rien de moins.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Franchement je ne comprends pas du tout de quoi vous parlez. Vous êtes en train d'étudier l'évolution des langages ? Comment on doit nommer ceci ou cela ? Revenir sur les définitions ? je ne sais pas de la linguistique ? Ou encore de la philosophie et le débat nominaliste ? Bref je ne vois pas ce qui est ambigüe ou discutable dans la seule définition que je connais suivante :
    "La démonstration par l’absurde, utilisée en logique classique pour démontrer certains théorèmes, entre dans la preuve apagogique.

    Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que l’hypothèse non p (c’est-à-dire que p est fausse) mène à une contradiction logique. Ainsi p ne peut pas être fausse et doit être donc vraie."
  • @turboLanding cette page a été écrite par des incompétents (inclure un passage sur la logique intuitionniste puis enchaîner avec comme exemples de raisonnement par l'absurde l'inexistence d' un inverse de $0$ puis l'irrationalité de $\sqrt 2$ disqualifie violemment les auteurs). D'autre part ça fait un siècle que l'intuitionnisme existe; ce n'est pas une nouveauté.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Oui, juste pour comprendre, ils sont incompétents (même le pire d'entre nous autres, peut avoir un éclair de génie mais peu importe) et donc ... quoi ?

    Est-ce qu'on me prend pour un xxx sans que je m'en rende compte ?
  • Cette page est effectivement inconsistante.
    On peut tout de même y lire, à propos de la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$ :
    "Dans cette démonstration, on a seulement utilisé le fait que, si une proposition P conduit à une contradiction, alors on a non (P). Il n’y a donc aucun raisonnement par l’absurde, malgré les apparences. Le raisonnement tenu est donc valide aussi bien en logique classique qu’en logique intuitionniste."

  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Ok donc vous « discutez » sur le fait, que ce qu'on cherche à démontrer (pour l'irrationnalité de $\sqrt 2$) a été omis/non mentionné/oublié mais ou aussi alors été écrit outrageusement/sans la rigueur nécessaire/en favorisant la confusion ?

    C'est-à-dire doit-incriminer une personne faisant cette erreur même si on peut lui causer du tort dans le cas en effet où il n'a juste pas précisé un truc (qu'on important mais bon c'est courant avec l'habitude, c'est plutôt celui que ça choque qui devrait aussi peut-être se poser des questions) qu'on cherche avant de faire la suite du raisonnement, qui allait, bien entendu, de soi pour lui avec ses bac+10 en logique classique et ses 10000 publications mais qui connaissait déjà ça depuis bac+2, justement le niveau des personnes visées par ce qu'il raconte ? Enfin voilà plutôt quelque chose dont vous pourriez parler.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Si c'est pour en profiter juste pour juste « protéger » ceux qui ne comprennent pas, alors justement ici, je ne crois pas qu'il y en ait.
    Sinon, on peut aussi partir sur de l'éthique et l'impact d'internet et des forums sur la société en général ou par spécialités... ?
    Edit : veuillez excuser ces deux derniers messages pour l'agacement.
  • JLapin
    Modifié (August 2022)
    turboLanding a dit :
    C'est-à-dire doit-incriminer une personne faisant cette erreur
    Non, pour ma part, je m'en fiche royalement (ou impérialement ou consulairement), je n'ai aucune vocation d'évangéliste de la cause du raisonnement par l'absurde.
    Simplement, c'est un peu agaçant que ce qui se trouve décrit assez précisément sur ce fil soit si mal compris de certains participants à celui-ci.
  • Heuu... Okeyyy... bon alors ... bye
  • Vassillia,

    -sur « récurrence » je n’ai pas vu ta réponse. Je regarderai.
    -ce n’était pas toi en priorité que je visais
    -ta position, je ne m’en mêle pas. Chacun fait ce qu’il peut (et surtout ce qu’il veut). Je parle, disons, d’un idéal. Par contre « accepter ta position » ne veut rien dire pour moi. On est d’accord sur notre désaccord. Cela me va très bien. 
    -je suis convaincu (ça ne vaut rien, je sais) que l’énorme majorité de profs très compétents ne sait pas cela. Et ce n’est pas du tout un « problème de logicien ». Peut-être que l’on pourrait nous éclairer sur l’histoire des maths en ce qui concerne « la logique » et l’apparition de la dénomination RPA
    - et ta dernière phrase est étonnante : cela n’a rien à voir avec l’intuitionnisme (historiquement peut-être, mais en l’état, c’est juste un vocabulaire). Encore une fois RPA est le nom qu’on donne à une équivalence que l’on accepte d’utiliser en logique classique. 

    Je critique seulement une chose :
    dire « j’utilise cette équivalence » alors qu’on ne le fait pas. C’est pour ça que j’ai notamment parlé de Pythagore. C’est le nom qu’on donne à une implication (mais pas entre propositions). 

    La discussion (pour ma part) ne se situe que là. Finalement, toi, tu dis « je laisse dire des choses fausses sans réagir » (selon le public concerné).
    Là où je peux te suivre c’est que ce n’est pas en réglant ce défaut de rédaction qu’on va résoudre le chantier inquiétant du niveau en maths des lycéens et étudiants. 
  • Vassillia
    Modifié (August 2022)
    Notre accord sur notre désaccord me convient, je ne cautionne en revanche pas de reformuler mes propos en "je laisse dire des choses fausses sans réagir" ce n'est pas ce que j'ai dit et ce n'est pas du tout ce que je pense.

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Si cela a un rapport on peut se demander si le raisonnement par l'absurde découle d'une impossibilité de définir quelque chose positivement. En gros, est-ce qu'on l'a introduit pour répondre à cette impossibilité ?

    Ma réponse courte : oui

    Ma réponse plus longue :

    Avec l'axiome du tiers exclus (qui est « équivalent » au raisonnement par l'absurde), on tranche (enfonce des portes ouvertes) que toute proposition est soit fausse, soit vraie, même quand on peut le démontrer sans avoir à utiliser cet axiome.

    Il faut revenir à la problématique initiale du mathématcien qui a besoin d'avoir une réponse formelle à des questions comme « $\sqrt 2$ est ou n'est pas rationnel ? »

    Il réfléchit un peu et tente alors ceci :

    Si on suppose qu'il n'est pas irrationnel, on trouve que $2=3$, donc $\sqrt 2$ est irrationnel.

    Ok mais en quoi c'est lié à la question qui intéresse le mathématicien de savoir si $\sqrt 2$ est rationnel et que signifie ce « irrationnel » dans « pas irrationnel », ansi que dans la conclusion « est irrationnel » ?

    Ben, irrationnel, ce n'est pas (encore) seulement qu'un nombre qui n'est pas rationnel, et disons qu'on ne l'a pas encore vraiment défini.

    C'est juste pour l'instant un nombre qui fait partie d'un ensemble de nombre dont les éléments ne sont pas sensés appartenir à $\mathbb{Q}$ mais quand même appartenir à $\mathbb{R}$.

    Comment définir cet ensemble ? Ben, on y arrive pas (autrement qu'en se basant sur l'évidence : soit quelque chose est, soit cette chose n'est pas), donc on va se contenter de cette définition de cet ensemble où si un réel n'appartient pas à $\mathbb{Q}$ alors il est irrationnel, et s'autoriser à l'utiliser (ou plutôt on n'a pas le choix dans le cadre de la question initiale). Et on ne pourra dire alors qu'après seulement un peu tristement que $\text{irrationnel}=\text{non rationnel}$, $\text{ (« par essence »,}$
    $\text{« commodité », « facilité », chaque position}$
    $\text{est respectable pour peu qu'elle ne soit}$
    $\text{pas tranchée par simple incompétence}$
    $\text{(ou humilité plutôt en fait), ce qui est}$
    $\text{au moins mon cas)}$.

    Ainsi, on répond à la question initiale « $\sqrt 2$ est-il rationnel ? » (ne perdons pas et gardons notre objectif en tête), car en effet on peut alors ré-ecrire à présent le raisonnement précédent :

    Si on suppose qu'il n'est pas irrationnel, on trouve que $2=3$, donc $\sqrt 2$ est irrationnel.

    ainsi :

    On suppose que $\sqrt 2$ est rationnel, on trouve que $2=3$, donc $\sqrt 2$ n'est pas rationnel (=irrationnel).

    Et on a solutionné la question initiale : « non, $\sqrt 2$ n'est pas rationnel ».

    Donc, c'est bien pour répondre à une impossibilité que le raisonnement par l'absurde est subrepticement utilisé, mais non les raisons ne sont pas à chercher ailleurs que sur un aspect de compréhension de ce qu'est un ensemble, qui plus est, infini (dans un cas fini, on a pas réellement besoin, du raisonnement par l'absurde).
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Vassillia,
    Je cite les passages qui m’ont fait reformulé « je laisse dire des choses fausses sans réagir ».
    Il s’agit de plusieurs de tes messages. 
    « En ce qui me concerne, c'est plutôt une volonté de ne pas embrouiller les lycéens inutilement.
    Je n'utiliserai pas le terme sachant que c'est inadapté mais je ne corrigerai pas non plus un étudiant qui l'utilise, […]
    sachant que de nombreux profs feront l'erreur aussi, je ferme les yeux sur les erreurs des étudiants […]
    On ne peut pas faire de remarque à un étudiant à qui on n'a pas appris la différence et encore moins sanctionner donc tant que ce n'est pas connu par suffisamment d'enseignants, on est coincé.
    Par contre […] le vocabulaire ne me dérange pas tant que le raisonnement est correct, […]
    Deux raisonnements (la réfutation et le raisonnement par l'absurde) ont le même nom pour mes élèves et alors ? ça ne m’empêche pas de dormir […] »
    Désolé si j’ai déformé tes propos mais tout de même avoue que ce que j’ai compris n’est pas très éloigné…
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    "$\sqrt 2$ est-il rationnel ?
    On suppose qu'il est irrationnel et on en conclut que 2=3, donc $\sqrt2$ n'est pas rationnel."
    Arrivé à ce degré de confusion, il est urgent d'aller se coucher !
  • Vous avez raison sur un point.
  • Vassillia
    Modifié (August 2022)
    Tu ne veux pas absolument pas comprendre que pour moi, ce ne sont pas des choses fausses tant que le raisonnement est correct Dom ! Le nom n'est qu'un nom, il est inapproprié et c'est une erreur de l'utiliser puisque ce n'est pas celui correspondant à la théorie de la démonstration, en cela je suis d'accord avec GaBuZoMeu, mais je ne mets pas du tout cela sur le même plan.
    C'est ton droit de ne pas chercher à me comprendre mais arrêtons nous là maintenant
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Je verrai les réponses demain matin, mais finalement, c'est quoi la bonne réponse pour un exemple de raisonnement par l'absurde à proprement dit ? (il y en a de bon avec $\sqrt 2$, finalement ?)
    Edit : ha la fameuse querelle entre platoniciens et formalistes
  • Prends une fonction continue sur un segment et montre qu'elle est bornée.
  • « Pour moi ce ne sont pas des choses fausses ». 
    Ha, ben d’accord. Il n’y pas plus de discussion, en effet. 
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Vous parlez de choses différentes en fait.
    Si l'élève a entendu « raisonnement par l'absurde » comme il aurait retenu que ça s'appelle « invocation du tire-bouchon », car il n'a même pas les facultés de compréhension de l'intérêt et l'utilité de l'existence du nommage, alors c'est un problème qui dépasse les mathématiques. Et faut résoudre le problème à la base et pas dans les symptômes (c'est de l'ordre du développement psychologique peut-être, ou du système éducatif, franchement, je n'en sais rien).
    Par contre, si l'élève comprend l'intérêt et l'utilité de l'existence du nommage, alors, c'est bien du « travail »  du professeur de maths de lui montrer clairement, d'une manière ou d'une autre, son erreur.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    JLapin a dit :
    Prends une fonction continue sur un segment et montre qu'elle est bornée.
    Je parlais en fait très précisemment d'un exemple où le raisonnement par l'absurde est clairement utilisé, avec un exemple où il ne l'est pas, avec la mise en évidence de la différence qui provoque l'erreur (de dénomination ou autre) dans le cadre des échanges entre @Dom et @Vassillia.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Vassillia et moi sommes d’accord sur ce que RPA désigne précisément. 
    Le désaccord concerne la réflexion de dire ou pas à un étudiant qu’il a utilisé l’expression « raisonnement par l’absurde » à mauvais escient. 
    En effet, fournir deux preuves de la même chose, l’une avec un RPA et l’autre sans RPA pourrait t’éclairer. 
    Quand c’est faisable on retombe souvent (toujours ?) sur le problème soulevée dans ce fil, à savoir « ce n’est pas très habile », « c’est inutile ». 
    Mais vois-tu je pense que ça peut éclairer tout de même. Avec du temps, je pense pouvoir rédiger un truc. Mais il faudra attendre… et d’ici là un intervenant l’aura fait ou pointera des liens 😏😏😏
    Si tu lis depuis le début, ça a été fait. 
    « Supposons que $\sqrt{2}$ n’est pas irrationnel » est bien le début d’une démonstration qui « souhaite » utiliser un RPA (ça commence par « non(non($\sqrt{2}$ rationnel)) » et on arrive tôt ou tard à une incohérence ET LÀ on en déduit « $\sqrt{2}$ est irrationnel » grâce à RPA). 
    « Souhaite » est mal choisi, mais je manque d’inspiration…
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    @GBMZ j'ai corrigé mon message qui était en effet n'importe quoi.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)

    Mais vois-tu je pense que ça peut éclairer tout de même
    @Dom oui on est d'accord (mon message auquel GBMZ a fait la remarque re-rédigé correctement, va dans le même sens, le raisonnement par l'absurde est apagogique).
  • Sacré Dom, c'est exactement cela notre désaccord donc finalement on a réussi à se mettre d'accord. Je précise tout de même que je rejoins ta team si au moins une de ces 2 conditions est remplie : 
    - la majorité des enseignants se met à utiliser ce terme de la manière dont il est défini techniquement parlant par la théorie de la démonstration 
    - on juge souhaitable pour l'étudiant de différencier un raisonnement qui n'utilise que la logique intuitionniste et un raisonnement qui a besoin de la logique classique.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    En fait, je pense qu'à un certain niveau, tous les étudiants se demandent pourquoi on a donné un nom à ça, au lieu juste de montrer la technique pour l'apprendre aux élèves, comme quand on résout : $e^x=a$  et qu'on dit en gros, « on prend le $\ln$ de chaque coté ».
    On pourrait donc répondre : moi aussi je fais partie de ta team si on arrête de nommer ce raisonnement, raisonnement par l'absurde, pour en parler juste comme d'une technique souvent utile, jusqu'au niveau où on apprend ce qu'est un théorème de la logique.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Je ne crois en rien à une formation à ce sujet (ni même une simple information). Que la formation soit initiale ou continue. 
    On voit bien que même des professeurs émérites semblent vexés (ils n’ont jamais appris cela) et disent ne pas vouloir se plier « à la doxa logicienne » (j’en connais au moins un ! je ne parle pas d’intervenants du forum).

    C’est vrai que, comme cela a été dit, beaucoup utilisent certainement le terme « raisonnement » dans un sens très courant. C’est l’expression « raisonnement-par-l’absurde » qui a son sens précis sans que le quidam le sache. 
  • Vassillia
    Modifié (August 2022)
    Adjugé turboLanding d'autant plus que si tu me lis depuis le début, c'est ce que je fais moi même mais qui est on ? Je n'ai pas beaucoup de pouvoir sur lui. Par contre, sur le niveau où on apprend ce qu'est un théorème de la logique, merci de ne pas faire n'importe quoi. En attendant on part sur la logique rantanplan qui me parait nettement plus facile à enseigner et à utiliser et tout le monde est content. 
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Ben, jusqu'en terminale incluse, les professeurs ne l'enseigne pas en fait, je crois et à ce niveau, pour moi, la logique mathématique n'avait pas beaucoup plus de sens que le sens commun, et je la comprenais même presque suivant le présupposé qu'il n'y en avait pas plusieurs par exemple.
    Voyons voir, le professeur pourrait dire : 
    Exercice.
    Démontrer que 0 n'a pas d'inverse.
    Correction du professeur.
    Supposons que « zéro a un inverse », alors par définition de l'inverse, il existe un réel $a$ tel que : $a*0=1$.
    Or, $a*0=a*(0+0)=(a*0)+(a*0)$ et donc $1=1+1=2$ ce qui est faux, donc on peut conclure que « zéro n'a pas d'inverse ».
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Le prof de lycée (2nde-Tale) est coincé je pense. 
    Il me semble qu’il « ne doit pas » faire un cours de logique abstraite mais disséminer ici et là, au moment  opportun, du vocabulaire et des méthodes de démonstrations.  
    Regardons les programmes. 
    Bien entendu, certains le font sans se soucier des programmes. 
    Mais attention : énormément ne savent pas non plus. 
    Ils n’ont jamais vu ça et leurs formateurs non plus. 
    Même la définition de la négation comme « truc=>faux signifie non(truc) », je ne l’ai vue qu’à partir du moment où j’ai mis les pieds dans ce forum (puis on ouvre des bouquins 😀). 
    Enfin, dans ces classes là on travaille encore sur du sable. Les « admis » ne sont pas très clairs et on peut faire tout de même plein de maths.
  • Dom a dit: « truc=>faux signifie non(truc) », je ne l’ai vu qu’à partir du moment où j’ai mis les pieds dans ce forum
    On  a  $ply(a,0)=1-a=non(a)$.  Cela ne semble pas une révélation extraordinaire. 
    Par ailleurs, selon https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375913#Comment_2375913, il semblerait que le document https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/02/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN-2.pdf soit  recommandé par le gang de la rue en pente pour la préparation de leurs futurs étudiants. 
    Ce document n'arrête pas de piétiner l'Evangile selon Youlette-Placard, absurdise en dehors des chemins reconnus, et va jusqu'à définir une suite par $u_0 \in\R ; \forall n \in\N, u_{n+1} = u_n^2 $ sans procéder aux génuflexions d'usage. Camarades Evangélistes, qu'attendez-vous pour lever le drapeau de la non(non(compétence)) et sauver ce monde qui en a tant besoin ?
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    En tout cas dans ce document, les auteurs évoquent bien une « propriété négative ». Un peu léger mais les élèves peuvent peut-être comprendre avec ça et les exemples.
  • Jean-Louis
    Modifié (August 2022)
    Bonjour, je suis désolé mais j'ai du mal à suivre . Vos interventions me paraissent parfois contradictoires. Pour faire simple, à un niveau post bac, c'est quoi un raisonnement par l'absurde finalement? Par exemple je veux démontrer que racine de  2 est irrationnel. Je le suppose rationnel et j'en déduis une fausseté. J'ai donc:  (racine de 2 est rationnel) implique faux. Et alors ?
    Désolé si ça vous parait trivial. Je suis perdu.
    Bonne soirée et merci.
    Jean-Louis;
  • Faudrait peut-être une FAQ parce qu'on répète en boucle la même chose, plusieurs fois par an.
  • gerard0
    Modifié (August 2022)
    Bonjour Jean-Louis.
    C'est simplement la définition du "faux".  Il implique le faux ; tu as démontré directement que (racine de 2 est rationnel) est faux. Une autre façon de voir est que tu utilises pour conclure la contraposition.
    De nombreuses "preuves par l'absurde" sont simplement des usages non rédigés de la contraposition.
    Pour bien voir la différence, ce post de T Poma et le suivant sont éclairants.
    Je ne me prononcerai pas sur le niveau où il est important pour un étudiant de connaître la distinction.
    Pour ma part, de façon à être lu par tous j'écris systématiquement "par l'absurde" avec des guillemets. J'ai commencé parce que j'en avais marre de voir apparaître des laïus de CC parce que j'avais utilisé l'expression sans guillemets.
    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Je pense même, Gérard, que de dire par l’absurde sans guillemet est toléré. Ça laisse une confusion mais elle reste acceptable par la plupart car le terme « absurde » est aussi utilisé pour l’apagogie négative  (réduction de l’absurde ou autres expressions…****). 
    De mon point de vue c’est raisonnement par l’absurde qui est on ne peut plus précis.
    Jean-Louis,
    Tout le drame (de mon point de vue) est que même si une démonstration se termine par un truc absurde, ce n’est pas pour autant que l’on a utilisé un raisonnement par l’absurde. 
    ****on avait évoqué cela dans un autre fil encore que ceux cités dans cette discussion.
  • Merci tous deux.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Je pense que pour faire simple, le professeur peut dire à ses élèves que le raisonnement par l'absurde, c'est une contraposition et l'utilisation de non(non(A))=A dans la conclusion.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Pas tout à fait. 
    Le plus simple cependant est dans ce que tu dis : « utiliser « non(non(A)) » DONC « A ».
    C’est ça l’axiome du RPA. 
    S’il y avait une FAQ, une des questions serait : « supposer le contraire d’être irrationnel, c’est bien être rationnel, non ? ». 
    Réponse : oui à condition d’appliquer le RPA. 
    Tandis que supposer « rationnel » d’emblée n’est pas une utilisation du RPA. 
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Pour mémoire, j'ai donné plus haut un exemple de réel non-irrationnel qui n'est pas rationnel : l'escalier du diable, fonction continue telle que tout ouvert non-vide de $\R$ contient un intervalle ouvert sur lequel elle est égal à une constante rationnelle, mais qui n'est pas à valeurs rationnelles.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2022)

    @Dom
    Donc, si j'ai une formule du type $a \wedge (\neg b)$ et que je démontre $(a \wedge (\neg b)) \Rightarrow \bot$ j'ai alors démontré $\neg(a \wedge (\neg b))$ sans utiliser de RPA, juste la définition de la négation.

    Mais si je suis en LC et que j'utilise les lois de De Morgan pour dire que j'ai démontré $(\neg a) \vee b$, là, sans m'en rendre compte, j'ai fait un RPA (utilisation de $\neg\neg b = b$).

    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Médiat_Suprème : prends $b=a$, tu vois que tu démontres sans t'en rendre compte le tiers exclus.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2022)
    En quoi est-ce un problème en LC ?

    Et je n'ai pas dit que je choisissais $a$ et $b$, mais que ma formule avait cette forme.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Ce n'est ni plus ni moins un problème que le $\neg\neg b\vdash b$.
  • Thierry Poma
    Modifié (August 2022)
    @GaBuZoMeu : bonsoir. Tu veux certainement parler de ceci. Cependant, n'ayant pas encore étudié les topos, j'ai du mal à suivre. Avec cet exemple, tu touches au cœur du problème.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2022)
    Je voulais juste montrer à Dom que la "définition" de RPA qu'il donne ne convient pas en LC (d'ailleurs en LI ou LM, il n'y a pas débat).

    En LC $\neg\neg b = b$, ce n'est pas un problème
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    @Dom pas sûr (pour le donc a la place du =).

    Perso je pense que quand ca s'apprend, ca se fait en même temps que « A ou non(A) » est vraie pour tout A (axiome/principe du tiers exclu).

    « A ou non(A) vraie pour tout A » équivaut-il à « non(non(A))=A » ?

    Le 1er sens, le plus facile :

    Si non(non(A)) est faux alors avec le tiers exclus, non(A) est vrai et A est faux.

    Et si non(A) est faux alors avec le tiers exclus encore, A est vraie

    Donc c'est bien, non(non(A))=A (utilisé dans le RPA)(et pas « donc », enfin vu comme je le comprends, c'est juste une histoire de notation p-e).

    Pour l'autre sens, non(non(A))=A implique-t-il que (A ou non(A)) est vraie pour tout A ?

    Essayons :
    non(non(A))=A, et on veut demontrer que (A ou non(A)) est vraie pour tout A.

    Si non(non(A)) est faux, alors comme non(non(A))=A, alors A est faux, et non(A) est vraie

    Si non(A) est faux alors non(A) amène une contradiction donc non(non(A)) est vraie or non(non(A))=A donc A est vraie.

    Or, le principe de non contradiction s'exprime en utilisant les lois de de Morgan :

    « non(non(P)) ou non(P) vraie » pour tout P. En particulier pour P=A.

    Donc on a vu que :
    - « non(non(A)) faux » aboutit « non(A) est vraie ».
    - « non(A) faux » aboutit à « A vraie »

    Donc on a bien (A ou non(A)) est toujours vraie.

    Donc « non(non(A))=A » équivaut à « (A ou non((A)) toujours vraie ».

    Edit : grosses corrections.
  • Il me semble en effet que les lois de De Morgan nécessitent le RPA. 
    Qui peut confirmer ça ou me dire que je dis des bêtises grosses comme moi (et vous ne m’avez pas vu !) ?
  • Les lois de De Morgan sont strictement plus faibles que le RPA (ou le tiers exclus) : https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan%27s_laws#In_intuitionistic_logic
  • 😀👍
Cette discussion a été fermée.

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