Non raisonnement par l'absurde

Dom

troisqua,
je dis que mon truc plus haut n’est pas un raisonnement par récurrence. 

ton truc à toi déjà parle bien de propriété $P_k$ mais pas le mien. [phrase corrigée]

Comme pour le théorème de convergence dominée, j’attends qu’on déroule [coquille corrigée] ses hypothèses pour pouvoir l’appliquer. 

Pour l’axiome de récurrence, idem. 

Chaque axiome ou théorème s’énonce « A=>B ». 

J’attends qu’on rédige et que l’on voit le A et pas seulement qu’on dise « j’applique bidule ». 

Bref. 

troisqua

@Dom : je t'ai connu plus clair !

"je dis que mon truc plus haut n’est pas un raisonnement par récurrence. "

Quel "truc plus haut ?". Je n'ai pas trouvé.

"ton truc à toi, déjà parlé bien de propriété $P_k$ mais pas le mien. "

C'est une phrase française ça ?

"j’attends qu’on déroules"

Tiens,  la conjugaison se (re)fait la malle ! Tu t'es fait pirater ton compte ?

Pour le reste, oui, évidemment, on énonce toutes les hypothèses du théorème et on conclut (personnellement, à partir de là, je ne demande pas aux étudiants de "nom" de propriété ou théorème dont je me fiche éperdument).

JLapin

C'est qui ce "on" dont tu attends quelque chose en fait ?

Dom

J’admets avoir fourché avec mes doigts, en marchant dans le noir et dans le sable… et en ne contrôlant pas grand chose.

Je dis que pour rédiger un texte mathématique qui se veut être une démonstration, on (quelqu’un de quelconque 😀😏) doit énoncer clairement les hypothèses d’un théorème lorsque l’on (toujours la même personne) prétend l’appliquer.

JLapin

On s'égare un peu mais tant pis : parfois certaines hypothèses vérifiées de manière évidentes sont omises dans la plupart des rédactions de preuves.

Par exemple, quand on présente le changement de variable $x=e^t$ dans un calcul d'intégral, il est assez rare de prendre le temps de signaler que ce changement est de classe $C^1$, sauf dans les petites classes (et encore...).

Dom

JLapin
je suis d’accord qu’on ne va pas tout dérouler… soyons honnête…
par contre l’exemple que tu prends, justement, un préparateur à l’agrégation (interne) précisait qu’il fallait justement évoquer le caractère $C^1$ des fonctions comme pour l’intégration par partie.
Le dire suffisait mais il fallait le dire.
Ne pas le mentionner était pénalisé.
D’après ce formateur en tout cas.
Cela dit, sans ironie, certains peuvent penser que l’agrégation interne est une petite classe (je le répète, ce n’est pas pour polémiquer, c’est sans ironie). 

troisqua, j’ai cru que ton message répondait au mien. 

Je fournis les clichés :
MOI :

TOI :

Médiat_Suprèm

Je suis d’accord sur l’aspect superflu de « récurrence faible/récurrence forte ». 

troisqua

Ah !! Tout s'explique ! Que c'est compliqué la communication entre les humains

GaBuZoMeu

@pldx1 : bravo l'artiste ! Bravo pour ta façon d'emberlificoter les lecteurs en leur faisant croire que "La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité. " (ta phrase) veut dire que la valeur de vérité ne dépend que de la parité du nombre de "non" devant l'énoncé !

pldx1

Bonjour,

La logique rantanplan,  c'est plutôt simple.
On considère des variables valant $0$ ou $1$  et on calcule dans les zentiers selon les règles:

met:=(x,y)->x*y;
mou:=(x,y)->x+y-x*y;
non:=(x)->1-x;
ply:= (x,y) -> mou(non(x),y); 

Lorsqu'on travaille avec des indéterminées, on simplifie les polynômes en identifiant $x^2$ avec $x$.
Moyennant quoi, on a $non(non(a))=a$ et $ply(a,0)=1-a=non(a)$. 

Lorsque l'on trouve que c'est trop simple, on supprime la règle $non(non(a))=a$ et l'on introduit 
une définition qui ressemble à  $non(a):= ply(a,vilain)$. Et zalors, il y devient nécessaire de distinguer  entre les 
assemblages de symboles qui commencent par "non" et ceux qui ne le font pas.

Ceci conduit au résultat expérimental suivant: chaque fois que l'on veut démontrer qu'il existe au moins
un "nombre utile" qui n'est pas une fraction, on voit apparaître une nuée de quidams qui prétendent que l'essentiel est de distinguer entre une réduction à l'absurde et une réduction à l'absurde. C'est le syndrome Youlette-Placard: les TI sont tellement moins chères et tellement aussi efficaces que les HP, mais les HP sont tellement si mieux que les TI. D'ailleurs, ceux qui ont une HP, ont une HP, c'est dire !

Ceci est à rapprocher d'un autre fait expérimental: chaque fois que l'on s'intéresse à la suite de Fibonacci, on voit apparaitre une nuée de quidams qui cherchent à caser leur syndrome Youlette-Placard: est-ce que la suite existe en tant que suite (sans parler de est-ce que l'existence existe au sens de Platon ?) C'est évidemment plus important que tout résultat concernant cette suite... au moins dans l'opinion des Youlettes et Placardistes.

Cordialement, Pierre.

Dom

Encore amusant. 

Pierre, tu as déposé un message ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375430/#Comment_2375430
et j’ai posé une question, juste en dessous. 

Auras-tu une réponse brève sans noyer le poisson ?
C’est toujours amusant de regarder quelqu’un qui connait pertinemment le sujet mais qui choisit d’être dans le camp des sceptiques par plaisir, idéologie ou esprit de contradiction. 

GaBuZoMeu

@pldx1 : Toute cette esbrouffe pour ne pas reconnaître que "La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité" est une bêtise que tu as écrite, le contraire de ce que tu voulais dire (seule la parité du nombre de "non" compte). Tu sais, ce n'est pas grave. Ça peut arriver à tout le monde d'écrire des bêtises.

pldx1

@GaBuZoMeu. Lorsque l'on utilise une table de trigonométrie, la valeur de $\cos(x)$ dépend de la valeur de $x$ et pas de la façon dont s'écrivait l'expression qui a été utilisée pour produire la valeur $x$. Cela s'appelle un passage par valeur, c'est comme cela, c'est une grande tradition dans l'écriture des procédures. Il existe des cas où l'on préfère que les paramètres soient passés "sans cuisson préalable", pour que les "Chevaliers du Ni" puissent voir si l'on est en pédagogie positive ou en pédagogie négative... ou pour toute autre raison. Assez souvent, on utilise un "passage par pointeur" pour faire cela. Si tu remplaces cela par un truc de ton cru, eh bien tu peux le remplacer par ce qui te plait, et même par ce qui te déplait.

@dom. 
—début—

je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est impair ».
—fin—

—début—

je suppose « m est impair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est pair ».
—fin—

Voila deux réductions à l'absurde.  Quant à se demander si l'une est un "véritable raisonnement par l'absurde" tandis que l'autre ne serait qu'une horrible contrefaçon du véritable raisonnement par l'absurde...   cela ressemble à une tentative de réalisation expérimentale de l'Absurde, le Vrai, Celui qui Bénéficie de l'Appellation Controlée, par opposition à un absurde de deuxième choix (strongly deprecated).

La question  de savoir si $\sqrt 2$ est ou n'est pas le quotient de deux entiers est une question sérieuse et indispensable à une formation en mathématiques. Noyer cela sous des considérations oiseuses, qui relèvent d'un M2 mal digéré, c'est tout juste une méthode parmi d'autres pour que les arrivants en M2 aient le manque de savoir-faire que l'on constate. Quant à croire que cela va faire une réclame positive pour les Fondements et la Logique... cela relève du $\perp $ !

Cordialement, Pierre.

GaBuZoMeu

@pldx1 : peux-tu expliquer ce que veut dire ta phrase "La parité du nombre de "ni" initiaux n'est pas prise en compte dans le calcul des tables de vérité" ? Sans évitement, svp.

"savoir si $\sqrt 2$ est ou n'est pas le quotient de deux entiers". Tu vois bien qu'on suppose qu'il l'est (sans négation) pour montrer l'absurde et en conclure qu'il ne l'est pas (négation). On réfute la commensurabilité de la diagonale du carré avec son côté : apagogie négative, même si tu fais semblant de ne pas comprendre ce que ça veut dire.

troisqua

La situation tend vers l'absurde.

Foys

pldx1 a dit :

@dom. 
—début—

je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est impair ».
—fin—

—début—

je suppose « m est impair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est pair ».
—fin—

Voila deux réductions à l'absurde.

La première, que j'ai mise en gras, n'en est pas une.

Le fil tourne en rond. Je conseille aux lecteurs patients de lire l' "Introduction à la logique : Théorie de la démonstration - Cours et exercices corrigés" de David-Nour-Raffali; cf  https://www.amazon.fr/Introduction-logique-démonstration-exercices-corrigés/dp/2100067966

Ce livre contient un exposé technique complet sur ce qu'est une démonstration (dans un système appelé "déduction naturelle") en logique classique comme intuitionniste (cette dernière figure dans le chapitre 4 du livre). Quand vous aurez fini de lire ça vous ne devriez plus jamais commettre ce genre de faute (pour un prof de maths ça ne devrait pas prendre plus de quelques semaines sans se presser, en étant pessimiste; ça n'est pas plus dur que le moindre livre de fonctions Riemmann-intégrables que vous avez déjà lu).

Dom

Pierre,
c’est absurde ou plutôt ridicule…

Voici ma question : « est-ce deux raisonnements par l’absurde ? ». Je mets en gras le mot dont tu t’es interdit de prononcer le nom. 

Tu fuis en parlant de réduction.
Et tu sais parfaitement répondre, mais « laissons cela aux M2 car les autres pourceaux ne pourraient pas comprendre ». C’est l’impression que cela me donne. 

Tu sais très bien trancher la question mais tu préfères l’éviter en faisant semblant de léviter au dessus de la mêlée.
Quant à se demander si l'une est un "véritable raisonnement par l'absurde" tandis que l'autre ne serait qu'une horrible contrefaçon du véritable raisonnement par l'absurde...

Amusant ce besoin d’ajouter le mot « véritable » ou encore « horrible contrefaçon du véritable ».
Tu sais parfaitement que l’un s’appelle « raisonnement par l’absurde » et que l’autre ne s’appelle pas comme cela. 

Mais tu n’oses pas répondre par OUI ou par NON.
C’est drôle pour quelqu’un qui prône le tiers exclu de la sorte.🤣
Tu dois bien pouvoir décider si l’un mérite son nom et si l’autre ne le mérite pas ?

C'est indécidable pour toi ?
Ne serais-tu pas en train de te foutre de notre Gödel ?

Dernière tentative : 
PROBLÈME 1 :
—début—

je suppose « m est pair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est impair ».
—fin—
Est-ce un RPA ? a) OUI b) NON

PROBLÈME 2 :

—début—

je suppose « m est impair » et j’en déduis avec de simples calculs « 2=3 ».
J’en déduis que « m est pair ».
—fin—
Est-ce un RPA ? a) OUI b) NON

J’attends la pirouette à défaut de donner une réponse que tu connais parfaitement mais qui te gènes.

JLapin

@Dom
Ta question est mal posée pour ce fil : tu n'as pas présenté l'objet $m$, tu n'as pas donné ta définition de la parité et de l'imparité, etc.
Mais si tu reposes la question dans un autre fil que "fondement et logique", la réponse sera évidemment OUI pour les deux.

Vassillia

Ben moi j'ai compris sa réponse pourtant, l'existence même de la question n'a pas d'intérêt ce qui me semble une position tout à fait défendable et que je partage en partie. Soyons honnête, il est très fort à ce jeu, je suis peut être bon public mais moi je trouve que c'est artistique comme qui dirait. 

Foys

JLapin a dit :

Mais si tu reposes la question dans un autre fil que "fondement et logique", la réponse sera évidemment OUI pour les deux.

En ce qui me concerne je réponds systématiquement non à la première et oui à la seconde.

Dom

Vassillia, tu dois certainement penser que la discussion tourne en boucle. 

Tu n’y vois pas d’intérêt, mais ça ce n’est pas un argument. 

Par exemple, quelqu’un pourrait arriver et dire « bof, je ne vois pas d’intérêt à appeler un chat un chat, ce n’est pas grave si le L2 parle de hyène alors qu’il s’agit d’un loup. ». 

Je te pose à nouveau la question sur un exemple simple :   

—début—
Pour démontrer que $AB = 5 \,cm$, on procède par récurrence. On nous dit que le triangle $ABC$ est rectangle en C, que $BC = 4 \, cm$ et que $CA = 3 \, cm$. 

Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, $AB^2= […]$ [je zappe les calculs] donc $AB = 5 \, cm$

—fin—
Que reproches-tu à ce texte ?

JLapin

De parler de récurrence bien évidemment. Je ne comprends pas pourquoi tu prends des exemples aussi grossiers. Tu ne veux pas plutôt reformuler la question sur les nombres pairs / impairs ?

Dom

Ok, je m’y essaye. 

Définition : soit $n$ un nombre entier. 

Dire qu’il est pair signifie qu’il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. 

Définition : soit $n$ un nombre entier. 

Dire qu’il est impair signifie qu’il n’est pas pair.(autrement dit que : $n$ est pair $\Rightarrow \, tout$). 

remarque :
Foys, si on définit « n impair » par il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$, arrives-tu aux mêmes conclusions ?

JLapin, 
j’utilise souvent des exemples simples (évidents) pour apporter la contradiction. 

Vassillia n’est pas dérangée quand on dit « raisonnement par l’absurde » alors que ce n’est pas le cas. Elle trouve que ce n’est pas la même chose que d’écrire Pythagore à la place de Thalès. Je n’ai trouvé que « raisonnement par récurrence » pour illustrer le problème. Ce que j’appelle le problème c’est d’annoncer qu’on utilise « bidule » alors qu’on ne le fait pas. 

En ce qui concerne mes énoncés sur « pair »/« impair », tu proposes « oui et oui » mais tu me mets en garde sur les définitions (c’est pour ça que je pose aussi une question à Foys sur « définir impair »). 

Avec des énoncés qui feraient référence à « rationnel/irrationnel », devrais-je prendre les mêmes précautions ?

Dom

JLapin,

Je n’ai pas compris pourquoi la réponse changerait en fonction du sous-forum dans lequel elle est posée. 

Je comprends parfaitement l’idée qu’à l’école primaire on définisse un rectangle ou un rond plutôt par « une forme qu’on reconnaît » qu’autre chose. 

Les profs du primaire cycle 3 et les profs de collège doivent ensuite travailler et déconstruire ces pseudo-définitions. 

Mais ensuite, quand on est dans le secondaire, doit-on encore bricoler jusqu’à dire des choses fausses ?
Par exemple, sur d’autres thèmes comme « les fonctions » je ne suis pas partisan de donner une définition pourrie en collège ou lycée MAIS je suis partisan de ne pas donner de définition et de dire « on ne le définit pas mais on va juste s’entraîner à utiliser du vocabulaire ». Idem pour « homothétie » ou autre « translation/rotation ». C’est une forme d’honnêteté qui m’intéresse : annoncer ouvertement qu’on ne définit pas la chose. 

Cordialement 

GaBuZoMeu

Un petit commentaire sur les histoires de pair/impair. Assez difficile dans ce cas de décider d'un côté "positif" et d'un côté "négatif". $n$ Impair s'écrit tout à fait positivement $\exists k,\ n=2k+1$. En anglais "even" et "odd" ne place pas l'un comme la négation de l'autre ; ce n'est pas comme "rational et "irrational".

Et d'un point de vue intuitionniste, on a bien dans ce cas un tiers exclus : pour tout entier $n$, $n$ est pair ou $n$ est impair.

On est bien loin de l'opposition rationnel/irrationnel. La notion première est celle de commensurabilité (existence d'une commune mesure) et on se souvient des histoires qu'on raconte sur le choc pour les pythagoriciens causé par la réfutation du fait que la diagonale du carré et son côté n'ont pas de commune mesure.

Dom

Merci GaBuZoMeu, 
c’est exactement cet éclairage que j’attendais.

question subsidiaire : existe-t-il un moyen de définir irrationnel « avant rationnel ».    

Merci aussi JLapin, tu me fais réfléchir 😀

[Utilisateur supprimé]

Pas évident partout et ca dépend peut-être du contexte, mais j'ai bien, il me semble, appris (en prépa) d'abord la notion de parité dans laquelle un nombre est pair c'est à dire un multiple de 2, sinon il est impair. Et avoir compris pourquoi et comment, les nombres impairs et pairs forment une partition de $\N$. Et ça me parait être la bonne façon de l'apprendre sauf que ça remonte et qu'on l'a peut-être oublié (ou alors on l'apprend plus comme ça, en passant par le concept de parité).

"En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs."

 https://fr.wikipedia.org/wiki/Parité_(arithmétique)#:~:text=En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.

"Tout entier est soit pair soit impair.

S'il est multiple de deux, c'est un nombre pair. Par exemple, les nombres : -4, 8, et 60, sont pairs. Le nombre zéro est pair, parce qu'il est égal à 2 multiplié par 0.

Sinon, le nombre est impair. Par exemple -5, 3, et 71 sont impairs. Le nombre un est impair, c'est le plus petit entier naturel impair."

 https://fr.wikipedia.org/wiki/Parité_(arithmétique)#:~:text=Tout entier est,entier naturel impair.

(c'est pareil ou presque dans le wiki anglais)

GaBuZoMeu

On peut tout aussi bien dire :

 En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si le reste de cet entier dans la division par 2 est 0 ou 1. Un entier dont le reste est 0 est un entier pair, un entier dont le reste est 1 est impair.

biely

GaBuZoMeu a dit :

Il me semble clair que la proposition P est "$\sqrt2$ est irrationnel" où le mot irrationnel est formé du préfixe du contraire "ir"

Tu constates donc que P = non(Q) où Q est "$\sqrt2$ est rationnel".

Du coup l’argument du préfixe contraire n’est pas un bon argument pour la détermination en mathématiques du ’’côté positif’’ et ’’négatif’’ car le ’’im’’ de impaire est aussi un préfixe du contraire en français.

biely

Dom a dit :

question subsidiaire : existe-t-il un moyen de définir irrationnel « avant rationnel ».   

Il fallait peut-être commencer par cette question il me semble.

[Utilisateur supprimé]

Je me suis déjà renseigné sur ça et si ca existe ca doit être difficile à trouver, car il n'y a pas à ma connaissance de définition « constructive » (ou positive) d'« irrationnel ».

zeitnot

On appelle irrationnel, tout nombre réel dont le développement décimal n'est pas périodique.

Dom

biely,

Je ne pense pas. 

Dans cette classique démonstration répandue partout   « $\sqrt{2}$ irrationnel » la définition de rationnel est toujours la même. 

Et c’est cette démonstration qui est l’objet de la discussion « RPA ou pas ». 

Ensuite c’est pour faire prendre conscience de l’enjeu qu’on est passé à pair/impair. Certes le choix est discutable. M’enfin l’usage est de dire pair c’est « dans $2\mathbb N$ (ou dans $2\mathbb Z$) » puis on parle de impair. 

Il ne faudrait pas non plus détourner l’attention. 

La discussion de « RPA ou non » a bien lieu. 

Et encore une fois, la démonstration montrée du doigt contient bien pour le moins un abus de langage.  

GaBuZoMeu

Biely, je te rappelle que c'est toi qui avait employé cet argument, qui n'est pas faux mais qui doit être regardé plus précisément. Et je t'avais fait remarquer que puisque, comme tu l'affirmais, $P$ est "$\sqrt 2$ est  rationnel" et $\neg P$ est "$\sqrt2$ est irrationnel", la déduction $P \vdash \bot$, donc $\vdash \neg P$ n'est pas techniquement (au sens de la théorie de la démonstration, une branche des mathématiques) un raisonnement par l'absurde.

Une déduction $\neg Q\vdash \bot$, donc $\vdash Q$, voila un raisonnement par l'absurde.

Dom

zeitnot, 
oui, mais il y a un « n’est pas » et ça ne me plait pas. 

zeitnot

Dom, c'est mieux ainsi ?

On appelle irrationnel, tout nombre réel dont le développement décimal est apériodique.

[Utilisateur supprimé]

Pour démontrer qu'un nombre est irrationnel, il faudrait montrer alors que son développement décimal, n'est pas périodique.

Pour cela, je ne vois justement qu'un raisonnement par l'absurde pour le montrer à savoir : « on suppose que ce développement est périodique et on aboutit à une contradiction. » En logique classique, on peut le faire, par contre en logique intuitionniste (ce n'est pas un gage de construction de quoique ce soit, vu que je ne suis pas spécialiste), je ne saurais pas dire.

Et cela revient au même justement, car on se demanderait alors qu'elle est la définition « constructive » (ou positive) de périodique.

GaBuZoMeu

N'est pas périodique ...

JLapin

Dom a dit :

JLapin. Je n’ai pas compris pourquoi la réponse changerait en fonction du sous-forum dans lequel elle est posée.

La réponse à ton "pourquoi" est dans le document duquel est parti ce fil de discussion.

La preuve classique de l'irrationalité de $\sqrt 2$ sert souvent d'illustration du raisonnement par l'absurde. Tu ne peux pas y faire grand chose à moins de devenir dictateur et tes parallèles dans lesquels tu invoques un principe de récurrence à la place d'un théorème de Pythagore te discréditent plus qu'autre chose selon moi.

[Utilisateur supprimé]

Et le raisonnement par l'absurde est parfaitement défini, et l'illustration vient toujours après, il me semble, de quel sujet vous parlez exactement ?

D'ailleurs la preuve classique c'est pas une preuve dans la logique classique, [la seule ?] dans laquelle le raisonnement par l'absurde est défini ?, dans ce cas pourquoi cette redondance ambigüe ? Ou alors « démonstration classique » était à comprendre suivant le sens idiomatique ?

JLapin

@turboLanding

Cf https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374466/#Comment_2374466

ou https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2375152/#Comment_2375152

(ou autres...)

Dom

Heu…
Justement, JLapin, ledit document est bien dans l’erreur, non ?
Et je soupçonne même l’auteur de ne pas le savoir (j’ai eu des profs en DEUG (actuel L1/L2), en Licence (actuel L3) et même en maîtrise (actuel M1) qui n’étaient pas au courant.

S’il le sait, alors je ne comprends pas pourquoi il ne prend pas des exemples pertinents. Je ne me l’explique pas. 

Je note ce que tu dis sur mes analogies grossières (je ne le prends pas mal !).  

À ceci près qu’elles s’adressent souvent à des personnes en particulier et pas à tout le monde en même temps. C’est en général pour apporter la contradiction à un discours d’un auteur particulier. 

Mais je prends acte quand même de ta remarque.

Amusant d’ailleurs, ceux à qui mes questions s’adressent n’y répondent pas… ça me laisse penser que ce n’est pas complètement contre-productif.

[Utilisateur supprimé]

Avec les potentiels « implicites » que j'ai rendu explicite (en gras italique dans la citation ci-dessous) suivant ma compréhension du message, est-ce que ceci ne le trahit bien pas ? :

JLapin a dit :

Ce qu'essayent d'expliquer bon nombre d'intervenants c'est qu'il n'y a pas besoin, lors d'un raisonnement par l'absurde, d'utiliser systématiquement Non(Non(P))=P
.
Démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel c'est démontrer directement Non($\sqrt 2$ est rationnel).

Si oui, je ne crois pas que ce sont des questions simples (pour moi en tout cas) et dont je n'ai pas la réponse, mais :

- Est-ce que parler d'une formule positive (en soi) à un sens ?

- Si oui, est-ce que ce coté fondamental (le « en soi ») doit « se voir exprimé » dés le choix de la logique utilisée ?

- Si oui, est-ce que ce coté fondamental (le « en soi ») peut « se voir exprimé » dès le choix de la logique utilisée et comment (sans rien y perdre) ?

- l'est-il déjà d'ailleurs dans certaines de « nos logiques » ?

- Ces questions sont-elles bien fondées et ne pèchent-elles pas en naviguant trop près du logiscisme ?

Foys

Dom a dit :

Ok, je m’y essaye.

Définition : soit $n$ un nombre entier. 

Dire qu’il est impair signifie qu’il n’est pas pair.(autrement dit que : $n$ est pair $\Rightarrow \, tout$). 

remarque :
Foys, si on définit « n impair » par il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$, arrives-tu aux mêmes conclusions ?

Oui ce n'est plus la même conclusion. Cela dit $\N$ est un peu spécial du point de vue intuitionniste (i.e. il se comporte bien, par exemple tout énoncé qui s'écrit sans $\exists,\vee$ et qui est prouvable en logique classique dans Peano, est également prouvable en logique intuitionniste dans Peano. Cela provient de ce que les formules atomiques sont décidables. Ces formules vont être équivalentes et in fine on utilisera pas le raisonnement par l'absurde).

Dom

JLapin,

Je n’avais pas fait attention à ce que tu as dit :
« […] c'est qu'il n'y a pas besoin, lors d'un raisonnement par l'absurde, d'utiliser systématiquement Non(Non(P))=P ».

Veux-tu dire « au niveau lycée, du moment qu’on arrive à une contradiction, ça s’appelle un raisonnement par l’absurde » ?

Pour rappel : l’axiome du raisonnement par l’absurde est justement « quel que soit P, non(non(P)) est équivalent à P ». 

GaBuZoMeu

Un éclairage un peu exotique :

Dans le topos des faisceaux sur $\R$, l'objet des nombres réels est le faisceau des fonctions continues à valeurs réelles. Et dedans, le sous-objet des rationnels est le sous-faisceau des fonctions continues à valeurs rationnelles (donc localement constantes). Normal, n'est-ce pas ?

Qu'est-ce que le sous-objet des irrationnels ? Le plus grand sous-objet des réels qui a une intersection vide avec le sous-objet des rationnels. C'est le sous-faisceau des fonctions continues qui ne deviendront jamais rationnelles par restriction, c.-à-d. des fonctions telles qu'elles ne sont constantes à valeur rationnelle sur aucun intervalle ouvert non vide. $\sqrt 2$ (la fonction constante $\sqrt 2$) est irrationnelle, c'est sûr. Et on constate que rationnels union irrationnels, ça ne fait pas tout le monde !

Qu'est-ce que le sous-objet des non-irrationnels ? Le sous-faisceau des fonctions qui ne deviendront jamais irrationnelles par restriction, c;-à-d. le faisceau des fonctions telles que dans tout ouvert non vide il y a un intervalle ouvert non vide où la fonction est constante rationnelle. C'est plus que les rationnels, on y trouve par exemple l'escalier du diable ou escalier de Cantor.

L'histoire pair-impair est beaucoup moins marrante. L'objet des entiers naturels est le faisceau des fonctions continues à valeurs entières (donc localement constantes). La réunion du sous-faisceau des pairs et du sous-faisceau des impairs, ça fait tout le monde.

JLapin

Dom a dit :

Veux-tu dire « au niveau lycée, du moment qu’on arrive à une contradiction, ça s’appelle un raisonnement par l’absurde » ?

Oui, et même après comme le montre par exemple le document de Louis-Le-Grand.

@turb@turboLanding

Je ne sais pas vraiment répondre à tes questions, désolé.

Dom

Ok. Je comprends mieux notre échange. 

Cela dit je maintiens que l’auteur du document (que ce soit un prof de LLG ou quiconque) n’est pas au courant qu’il raconte des bêtises. Je ne pense pas qu’il sait qu’il a pris un mauvais exemple.
Je ne me moque pas de lui ni ne le critique (sauf s’il sait qu’il raconte une chose fausse ou pire s’il se dit « ils ne vont pas comprendre, je vais simplifier tout ça » car il y a d’autres méthodes où la rédaction est juste et ne souffre pas de choses fausses.). 

Foys

JLapin a dit :

Oui, et même après comme le montre par exemple le document de Louis-Le-Grand.

"Après" ne veut rien dire. Si l'étudiant s'engage dans des études d'informatique théorique il suivra des cours de logique où rapidement on lui dira que ce n'est pas vrai.

Vassillia

Franchement je ne te comprends pas Dom : 
- je t'ai déjà répondu pour ton exemple de la récurrence, relis la discussion, tu exageres vraiment a y revenir en sous entendant plus loin que je ne réponds pas (je suis en pré rentrée donc 8h de cours, j'ai autre chose à faire)
- je pense avoir compris le fond du problème théoriquement parlant, être toujours en désaccord avec toi mais accepter cet état de fait 

- il est exact que cela ne me dérange pas que mes étudiants utilisent la même dénomination pour 2 raisonnements différents,  ce n'est pas validée par les logiciens mais par l'immense majorité de la population y compris des profs de maths reconnus et c'est avec eux qu'ils seront amenés de travailler. Le seul intérêt que je vois à nommer le raisonnement est de se faire comprendre, tant que cela ne pose pas de problème au lecteur, tout va bien. La justesse du raisonnement est autre chose, il y a une exigence de rigueur pour la rigueur. 
- la définition d'un mot peut évoluer au cours du temps, elle n'appartient à personne pas plus que la logique n'appartient à qui que ce soit
- le formalisme pour le formalisme m'insupporte, tant que je n'ai pas de raison pédagogique ou nécessaire mathématiquement parlant à un progrès ou la résolution d'un exercice, je n'enseigne pas la notion correspondante.
Peux tu accepter ma position stp ? Cela ne m'empêche pas de trouver la logique intuitionniste intéressante et vos discussions également.

Foys

Tout le monde comprend quand on dit "Jules César a été empereur". Ce rigorisme d'historien est insupportable. Bon c'est juste pas vrai qu'il l'a été mais dans les conversations usuelles c'est ce que tout le monde dit.