Ensemble complémentaire

confinoum0211

Bonjour
Y a longtemps que je ne suis pas venu vous "embêter"... Entre le lancement de mon business et l'été, je pense de temps en temps au math histoire de faire cogner mes neurones. 😂

Pas de latex désolé mais c'est assez simple.

Soit f une application de X vers Y.  (A,B)  deux parties de X

AnB= ens.vide ssi A inclus dans complémentaire de B, de la même façon pour toute partie D de Y,  on a bien par exemple Dnf(A) = ens.vide implique D inclus dans complémentaire de f(A) ?

La logique ne change pas sauf qu'on bosse sur l'ensemble d'arrivée  là ?
Merci
Belle journée.

Médiat_Suprème

On peut écrire : 
$A\cap B=\emptyset \Leftrightarrow \forall x (x\in A \Rightarrow x\notin B ) \Leftrightarrow \forall x (x\in A \Rightarrow x \in \overline B ) \Leftrightarrow A\subset \overline B$
Et cela reste vrai pour tous les ensembles.

confinoum0211

Merci, j'ai la réponse à ma question. 

gerard0

Bonjour Cofinoum.

Une fois compris que $A\cap B=\emptyset$ ssi $A$ inclus dans complémentaire de $B$, pour tous sous-ensembles $A$ et $B$ d'un ensemble quelconque, ta question ne se pose plus. Et si tu ne traites pas les questions de mathématiques ainsi (on appelle ça quantifier), en te posant la question : est-ce que c'est toujours vrai ? (le cas ici) ou "dans quel cas est-ce vrai ?", tu vas continuer à poser des questions sans intérêt (même pour toi), à accumuler des phrases parlant de maths sans en faire, des phrases inutiles.

Ici, une fois cela compris, tu reprends avec $D$ à la place de $A$ et $f(A)$ à la place de $B$ et tu vois que c'était évident, et même que $f$ n'est en rien concernée !!

Cordialement.

stfj

bonjour, suite à la remarque de @gerard0, je me suis dit qu'il n'était pas inutile au moins pour moi de refaire la démo 
*Supposons $A$ et $B$ disjoints. Soit alors $x$ dans $A$. $x$ n'est pas dans $B$ par hypothèse; autrement dit $x$ est dans le complémentaire de $B$. Donc $A$ est bien contenu dans le complémentaire de $B$.
*Supposons que $A$ et $B$ s'intersectent. Alors il existe un élément qui est à la fois dans $A$ et dans $B$. Donc il est faux d'affirmer que pour tout $x$ dans $A$, $x$ n'est pas dans $B$.  Donc, si $A$ est contenu dans le complémentaire de $B$, nécessairement $A$ et $B$ sont disjoints. Ce qui achève la démonstration.
qed.