Calcul d'intégrale

jean lismonde

Bonjour
Je propose une intégrale numérique simple : $$\int_0^1\frac{dx}{x^5 + 1}.$$ Il convient d'en donner une formule close avec les constantes classiques.
En fait le calcul se révèle assez lourd mais je ne doute pas que sur le forum  les experts patentés sauront trouver le résultat que j'ai vérifié numériquement
plus rapidement que moi.
Je donne deux indications utiles : $$\tan\frac{\pi}{10} = \sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}\qquad \text{ et }\qquad \tan\frac{3\pi}{10} = \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}.$$ Bonne recherche et bonnes vacances !

Bibix

C'est une très belle initiation à la décomposition en éléments simples. Je propose même de calculer la primitive puis de calculer pour tout $n \in \mathbb{N} \backslash \{0, 1\}$: 
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+u^n}du$
Ça fait travailler les bases de l'analyse complexe.

julian

Méthode des résidus ? 

JRManda

Comme la borne supérieure de $I=\int_{0}^{1}\frac{d x}{x^{5}+1}$ est finie, la méthode des résidus ne semble pas indiquée. Par contre, on peut procéder par la méthode de décomposition en éléments simples de la fraction $\frac{1}{x^{5}+1}$.

En effet, en remarquant que $x^{5}+1=(x+1)\cdot (x^{2}+\frac{1}{\varphi} x+1)\cdot (x^{2}-\varphi x+1)$ où $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ désigne le nombre d'or, on cherche cinq réels $A$, $B$, $C$, $D$, et $E$, tels que : $$\frac{1}{x^{5}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx +C}{x^{2}+\frac{1}{\varphi} x+1}+\frac{Dx +E}{x^{2}-\varphi x+1}.$$Et les calculs continuent ... Malheureusement, cette méthode n'est pas demandée ici.

jandri

On ne peut pas aller aussi vite que WolframAlpha : 

$$\int_0^1 \dfrac 5{x^5 + 1} dx = \pi\sqrt{\dfrac{5 + \sqrt5}{10} }+ \log(2) + \dfrac{\sqrt5}2  \coth^{-1}\left(\dfrac3{\sqrt5}\right)$$

Bibix

Et est-ce que WolframAlpha permet aussi de déterminer que :

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{du}{1 + u^n} = \frac{\pi}{n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$ ?

jandri

Pas pour $n$ formel mais il le donne pour $n=7$, $n=11$, $n=21$, etc... donc on peut penser que c'est vrai pour tout $n\geq2$.

Cyrano

On peut probablement employer la méthode des résidus en effectuant au préalable le changement de variable $u=1/x - 1$ pour se ramener à l'intervalle $]0,+\infty[$. Ensuite on ajoute un logarithme complexe et on intègre sur le Pacman.
Ce n'est clairement pas la méthode la plus courte. 

etanche

$A=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^5} dx = \int_{0}^{1} \frac{1-x^5}{1-x^{10}} dx$ 

changement de variable $u=x^{10}$ donc $x=u^{1/10}$ 
$A=\frac{1}{10} \int_{0}^{1} \frac{1-u^{1/2}}{1-u} u^{-9/10} du=\frac{1}{10}\int_{0}^{1} \frac{u^{-9/10} - u^{-2/5}}{1-u} du$

$A=\frac{1}{10} \int_{0}^{1} \frac{1- u^{-2/5}}{1-u}du - \frac{1}{10}\int_{0}^{1}\frac{1-u^{-9/10}}{1-u}du$

puis avec $\Psi(x) = \int_{0}^{1} \frac{1-t^{x-1}}{1-t} dt - \gamma$ pour $x>0$ 

$A=\frac{1}{10}(\Psi(3/5) - \Psi(1/10))$ enfin utiliser l’identité de Gauss Digamma pour $\Psi(p/q)$ 
https://mathworld.wolfram.com/GausssDigammaTheorem.html

Fin de partie

Pour $n>1$,

\begin{align}J_n&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx\\&\overset{y=x^n}=\frac{1}{n}\int_0^\infty \frac{y^{\frac{1}{n}-1}}{1+y}dy\\ &=\frac{1}{n}\text{B}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{n}\right)}{\Gamma(1)}\\ &=\frac{\frac{\pi}{n}}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \end{align}

jean lismonde

Bonjour
Jandri, je suis d'accord sur le résultat numérique que tu proposes
soit 0,8883135727...pour l'intégrale initiale
l'expression de la coth inverse pour la valeur $\frac{3}{\sqrt{5}}$
peut s'écrire plus simplement $\sqrt{5}ln\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
j'attends un peu pour donner ma démonstration qui ne fait pas appel aux logiciels !
l'intégrale de la même expression initiale mais sur les bornes 0 et +oo est classique
et FdP en donne une bonne démonstration dans le cas général
mais à ma connaissance l'intégrale paramétrée  $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^n+1}$
ne peut être explicitée directement et simplement en fonction de n
Cordialement.

jean lismonde

re bonjour
la dernière intégrale évoquée dans mon propos précédent comportait les bornes 0 et 1
merci.

Fin de partie

@Jean Lismonde: Probablement pour certaines valeurs de $n$* entières on doit pouvoir y arriver directement mais si le $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ n'est pas un nombre constructible probablement on n'y arrivera pas.

*: pour $n=2,4$ par exemple.