Intervalle de stabilité d'une suite récurrente

Mar0wwa
Modifié (August 2022) dans Analyse
Bonjour, s'il vous plaît, quelle est la méthode qu'il faut suivre pour trouver l'intervalle de stabilité d'une suite s'il n'est pas donné ? comment trouver cette intervalle ?
Merci beaucoup.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (August 2022)
    Bonjour.
    Si la suite est de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction numérique simple, une étude de $f$ peut donner une idée. En espérant que $u_0$ soit dans l'intervalle trouvé.
    Cordialement.
  • Si ta suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, tu peux faire un tableau de variation de $f$ pour trouver un intervalle stable (qui contient le premier terme ou a minima un terme de la suite à partir d'un certain rang).
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2022)
    Une remarque : si l’on souhaite démontrer que $[a;b]$ est stable, c’est équivalent de démontrer que : 
    pour tout $n$, $u_n\leq b \Rightarrow f(u_n)\leq b$ et la même idée pour $a$.  
  • C'est suffisant, pas équivalent :)
    Par exemple, $x\leq 1 \implies x^2\leq 1$ est faux alors que $0\leq x\leq 1\implies 0\leq x^2\leq 1$ est vrai.
  • Houlala oui… 
    Je n’en suis pas à une maladresse, voire bêtise près. 
    C’est le « ET » qui est important et mal fichu dans ma remarque. 
    $a\leq u_n \leq b \Rightarrow …$
  • L'important n'est pas l'intervalle de stabilité, d'ailleurs il n'y a pas unicité. L'important c'est le bassin de convergence pour un point fixe attractif. Le mieux serait de donner des exemples.
  • Tout de même, quand on démarre l'étude générale d'une récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$, la recherche de parties stables est souvent une étape préliminaire assez importante.
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