Calcul de l'intégrale de Stratanovitch

chris_51000

Bonjour, 

je me permets de vous solliciter sur un problème d'intégrale stochastique. 
J'ai réussi a calculer la valeur de la somme quand T'i=Ti, ca vaut 0 (Ito) et lorsque que T'i=Ti+1, ca vaut t.
En revanche, pour T'i=T(i+1/2), Stratanovitch, je n'arrive pas a trouver la valeur de la somme.
Serait-il possible de m'aider sur ce calcul ?

Merci beaucoup

Positif

C'est pas $\frac{T}{2} $ ? 

Si $t_{\varphi(i)} \in [t_i, t_{i+1} [ $, l'espérance de $W_{n, \varphi } = \sum_{i = 0}^{n-1} Z_{ t_{ \varphi(i) } } \left( Z_{t_{i+1}} - Z_{t_i} \right) $

vaut $\sum_{i = 0}^{n-1} t_{ \varphi(i) } - t_i $ , qu'on trouve en scindant le delta $ Z_{t_{i+1}} - Z_{t_i}  $ en $ \left( Z_{t_{i+1}} - Z_{ t_{ \varphi(i) } } \right) - \left( Z_{t_i} - Z_{ t_{ \varphi(i) } } \right) $ 

chris_51000

Merci, je pense que c'est la bonne valeur. Je vais essayer de le démontrer également

chris_51000

en fait, je dois plutôt essayer de la faire la démonstration sous cette forme. Je vais essayer.

Positif

C'est quoi $\mathbf{E}_{t_i} $ ?

chris_51000

C'est l'espérance en date Ti, E[ . |F(ti)]

Positif

Okay pour $t_{\varphi(i) } = t_i $ mais le jeu c'est de calculer $\mathbf{E}$ pour $t_{\varphi(i) } \neq t_i $.

chris_51000

oui, c'est vrai. Mais comme c'était demandé d'utiliser les espérances itérées.

Je pense qu'en faisant la décomposition, ca devrait le faire également.

Positif

Ah d'accord, j'avais pas compris ce que cela signifiait. C'est la traduction de "tower property". Donc tu as raison mais Il faut appliquer la tower property sur la décomposition $\left( Z_{t_{i+1} } - Z_{t_{\varphi(i)} } \right) - \left( Z_{t_i} - Z_{t_{\varphi(i)}}  \right) $