Cardinaux des groupes forcément cycliques

Riemann_lapins_cretins
Modifié (July 2022) dans Algèbre
Bonjour
Un résultat fondamental en théorie des groupes est la cyclicité des groupes d'ordre premier.
Un autre résultat célèbre prédit la même chose pour un groupe d'ordre $pq$ à condition que l'un des premiers $p$ ou $q$ ne soit pas congru à 1 modulo l'autre.
A-t-on d'autres familles d'entiers $n$ tels que les groupes d'ordre $n$ soient forcément cycliques ?
Merci à vous.

Réponses

  • AD
    AD
    Modifié (July 2022)
    Bonsoir RLC
    Il y a le critère, un tout groupe d'ordre $n$ est cyclique si, et seulement si, $\mathrm{pgcd}\big(n,\varphi(n)\big)=1$.
    Autre formulation
    Il n'existe qu'un seul groupe d'ordre $n$ (à isomorphisme près)  si, et seulement si, $\mathrm{pgcd}\big(n,\varphi(n)\big)=1$.
    AD
  • Bonsoir AD,

    C'est un très beau résultat (et surprenant, je ne m'attendais pas à une caractérisation si simple).
  • Bonjour RLC
    Pour aller un peu plus loin, concernant la caractérisation des entiers $n$ pour lesquels tout groupe d'ordre $n$ est abélien.
    J'avais écrit un document là-dessus.
    Pour aller encore plus loin, (groupe nilpotent...) il y a le papier de L.Crew ci-joint.
    Alain
  • On trouve ici la liste de ces « nombres cycliques » : https://oeis.org/A003277 .
    Il y a un lien avec les nombres de Carmichael.

  • J'ai récemment "reviewé" l'un des derniers articles de Paul Pollack dans lequel il donne une formule asymptotique pour la somme
    $$\sum_{\substack{n \leqslant x \\ n \, \textrm{cyclique}}} 1.$$
    En 1948, Erdös (c'est pénible de ne pas pouvoir faire le vrai "o" d'Erdös ici) observe que la principale contribution à cette somme provient des entiers $n \leqslant x$ pour lesquels le plus petit facteur premier $p(n)$ vérifie $p(n) > \log_2 x$ où $\log_k$ est le $k$ème itéré de la fonction $\log$. Cette idée, bien exploitée, lui permet d'obtenir lorsque $x \to \infty$ l'équivalent
    $$C(x) \sim \frac{e^{-\gamma} x}{\log_3 x}$$
    (remarquer la présence de $\gamma$, comme dans beaucoup d'estimations de théorie analytique). En reprenant et en affinant cette idée, Pollack obtient pour tout $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et tout $x \geqslant e$ suffisamment grand 
    $$C(x) = \frac{e^{-\gamma} x}{\log_3 x} \left( 1 + \frac{c_1}{\log_3 x} + \frac{c_2}{(\log_3 x)^2} + \dotsb + \frac{c_N}{(\log_3 x)^N} \right) + O_N \left(\frac{x}{(\log_3x)^{N+2}} \right)$$
    où $c_1,\dotsc,c_N$ sont des constantes. Il calcule même les trois premières : $c_1 = - \gamma$, $c_2 = \gamma^2 + \frac{1}{2} \zeta(2) \approx 1,1556$ et $c_3 = - \left( \gamma^3 + \frac{3}{2} \gamma \zeta(2) + \frac{2}{3} \zeta(3) \right) \approx - 2.4179$.

    C'est globalement plus compliqué qu'avec les nombres de Carmichael.
  • Merci d'abord à AD, la question des "cardinaux abeliens" me préoccupait sans que je n'ose la poser.

    Merci à Chaurien pour le lien OEIS.

    Et un grand merci pour noix de totos pour son post vraiment inattendu qui fait que je suis content d'avoir posé la question, pour avoir eu une réponse que je n'aurais trouvée nulle part ailleurs.
  • De rien.

    Mon collègue (et ami) László Tóth a récemment revisité un certain nombre de problèmes de structures algébriques en redémontrant les résultats via l'utilisation de produits de convolution de Dirichlet de fonctions arithmétiques connues. Ça donne des démonstrations très élégantes et généralement plus rapides qu'avec les outils classiques de l'algèbre.

    À titre d'exemple, soient $m,n \geqslant 1$ entiers, $\mathbb{Z}_m = \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ et même chose pour $\mathbb{Z}_n$. En 2018, Tóth montre que :

    (i) le nombre de sous-groupes de $\left( \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n ,+ \right)$ est égal à 
    $$\sum_{i \mid m, \; j \mid n} \textrm{pgcd}(i,j) = \sum_{d \mid \textrm{pgcd}(m,n)} \varphi(d) \tau(m/d) \tau(n/d) \, ;$$

    (ii) Le nombre de sous-anneaux de l'anneau $\left( \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n ,+, \cdot \right)$ est égal à 
    $$\sum_{i \mid m, \; j \mid n} \ \sum_{\substack{d \mid \textrm{pgcd}(i,j) \\ \textrm{pgcd} (d,i/d) = \textrm{pgcd}(d,j/d) = \delta}} \frac{\varphi(d)}{\varphi(d/\delta)} \, ;$$

    (iii) le nombre d'idéaux de l'anneau $\left( \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n ,+, \cdot \right)$ est égal à $\tau(m) \tau(n)$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.