Trouver un jeu avec proba de gain 1/pi

Bonjour
On m'a lancé le défi de trouver un jeu jouable avec une pièce équilibrée tel que la probabilité de gagner à celui-ci soit de $\frac{1}{\pi}$.

J'admets que je bloque. Les seules pistes naturelles qui me viennent sont les "avoir exactement tant de piles par rapport au nombre de faces", qui conduisent au mieux à du $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ et me font de toute manière traîner un nombre de lancers au dénominateur.
Je suis sûr que ce n'est pas très dur mais ça ne stimule que ma curiosité et pas mon envie d'y réfléchir.
Merci à vous et bon amusement si ce problème résiste un minimum à certains.

Réponses

  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    Si ca peut aider :
    Rapport de l'aire du carré circonscrit de coté $c$ sur celle du cercle de rayon $c\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\dfrac{c^2}{\tfrac{\pi c^2}{2}}=\dfrac{2}{\pi}$
  • Tu prends ta pièce équilibrée, tu traces sur ta pièce un secteur angulaire d'angle valant 2 radians. Tu colories ce secteur en bleu et le reste de ta pièce en rouge, la même chose des deux côtés. Tu fermes les yeux, tu lances ta pièce. Tu places ton auriculaire sur un rebord de la pièce, tu gagnes si tu es dans le secteur bleu.  :)
    Quoi ? Je suis malhonnête ?
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • troisqua
    Modifié (July 2022)
    Avec une pièce .... ?

  • gerard0
    Modifié (July 2022)
    Bonjour.
    Voir les "aiguilles de Buffon".
    Cordialement.
  • J'ai évidemment pensé à Buffon et autres Monte-Carlo célèbres pour aborder la chose, mais je pense que la personne sous-entendait "en jouant vraiment au pile ou face" (pour la mention du fait que la pièce soit équilibrée et que je n'ai droit ni à un plancher, ni à un quelconque environnement imaginaire sur lequel lancer la pièce a priori).

    Bon, c'est toujours le problème du demi-habile voulant faire le malin que de ne pas être au clair sur ce genre de sous-entendus lorsqu'il pose des défis.
    Si c'est néanmoins le genre d'idée qu'il avait en tête, il est bien parti pour servir de plancher humain à mon calcul de pi par aiguille de Buffon.
  • Ah oui, j'ai lu trop vite.
  • Je le verrai plutôt via l'algo suivant :
    $n \leftarrow 1$ (numéro du lancer)
    $s \leftarrow 0$ (somme qui sera à valeurs dans $[0,1]$)
    Tant que VRAI :
          Lancer la pièce.
          Si pile, ajouter $1/2^n$ à $s$
          Si $s > 1/ \pi$, renvoyer "ECHEC"
          Si $s + 1/2^n < 1/ \pi$, renvoyer "REUSSITE"

    On peut remplacer $1/ \pi$ par n'importe quel réel $p \in [0,1]$.
    L'algo revient à simuler le développement diadique d'un nombre $s$ pris uniformément dans $[0,1]$.
    Si, à une étape, on peut conclure $s > 1/ \pi$ ou $s < 1/ \pi$, on conclut.
    L'algo termine ssi $s \neq 1 / \pi$ donc avec probabilité 1.
    Mais c'est sûrement tricher, va-t-on me dire...
  • Foys
    Modifié (July 2022)
    Penser au développement binaire d'un nombre.
    Soit $p$ un réel quelconque entre $0$ et $1$. On écrit $\displaystyle p=0,a_1a_2a_3 a_4\ldots := \sum_{k=1}^{+\infty } 2^{-k} a_k$, avec $(a_n)_{n\in \N}\in \{0,1\}^{\N}$. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac 1 2$ pour tout $k$.
    Soit $\tau:= \inf \{n\in \N \mid X_k \neq a_k\}$. $\tau<+\infty$ presque sûrement. On dit que Alice gagne si $X_{\tau}=0$ et que Bob gagne si $X_{\tau} = 1$.  Alors Alice a exactement $p$ chances de gagner.

    NB : il n'y a pas de protocole fini (i.e. qui s'arrête après un nombre de tirages fixé à l'avance) si $p$ n'est pas dyadique (i.e. de la forme $\dfrac q {2^r}$ avec $q,r\in \N$). En effet quel que soit $n\in \N$, les éléments de la plus petite tribu  rendant mesurables les $(X_1,\ldots,X_n)$ sont tous de probabilité dyadique.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Il y a ça qui donne du Pi avec une pièce et une formule un peu compliquée.
  • J'avais déjà lu cette démonstration, mais je ne l'avais pas comprise.
    Je pense que je suis en train de la comprendre.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Boécien
    Modifié (July 2022)
    Sinon il me semble qu'en écrivant Pi en base 2 et en jouant sur le fait que 1=face 0=pile on doit pouvoir inventer un jeu dont on sort gagnant avec probabilité 1/Pi.
    EDIT: Foys a déjà répondu dans ce sens!
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    A noter qu'avec Monté-Carlo, avec mon exemple précédent, et la règle : si on lance la pièce et qu'elle tombe dans le carré en faisant pile (ou face alors on gagne (je crois que ca fait pile (:smile:) $\frac{1}{\pi}$.
  • lourrran
    Modifié (July 2022)
    Le cas \pi (et non le caca pipi) est un cas particulier, c'est un attrape nigaud. L'aspect intéressant (fascinant ?) de la solution proposée par Foys, c'est qu'elle marche pour tout réel entre 0 et 1.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • J'ai également pensé à l'idée du développement dyadique mais sans conclure de façon satisfaisante (ne sachant pas comment formuler "un jeu" plutôt qu'un algorithme de calcul de 1/pi).
    L'idée du temps d'arrêt était ce qu'il me manquait pour que ça tourne. Merci à Foys.

    Je n'ai aucune idée de si c'est de la triche (m'étant posé la question de savoir si 1/pi était une valeur quelconque ou particulière) mais le poseur d'énoncé n'avait qu'à être plus clair.
  • Georges Abitbol
    Modifié (July 2022)
    A noter que le "truc" de Foys n'est autre qu'un cas particulier du coup de la fonction de répartition inverse https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_la_transform%C3%A9e_inverse !
    Cela permet notamment de démontrer que pour tout espace de probabilité $\Omega$ sur lequel il existe une suite iid de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ ("de paramètre non trivial" suffit), alors pour toute loi de probabilité $\mu$ sur $\mathbb{R}$, il existe une variable aléatoire $X$ définie sur $\Omega$ de loi $\mu$. N'y avait-il pas eu un fil ouvert par @Renart parlant de tout ça, il y a quelques mois ?
  • @Riemann_lapins_cretins Tu disais avoir trouvé du 1/sqrt(pi)  tu n'as plus qu'à demander de gagner deux fois de suite !
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • lourrran
    Modifié (July 2022)
    On peut simplifier cet exercice, jusqu'à le rendre très simple.
    On n'a plus une pièce, mais $3$ dés à $10$ faces. numérotées de $0$ à $9$. Un gros dé, un moyen et un petit.

    On veut une procédure pour dire si Bob gagne, et la probabilité doit être exactement $\frac{1}{\pi}=0.318\, 309\, 886\, \ldots$

    On lance les $3$ dés, on met les $3$ dés côte à côte (gros puis moyen puis petit), et on regarde le nombre obtenu. On a un nombre entre $000$ et $999$, $1000$ nombres possibles, équiprobables.
    Et on compare aux $3$ premiers chiffres dans l'écriture de $\frac{1}{\pi}$, c'est-à-dire $318$.
    Si notre nombre est plus petit que $318$, Bob gagne, s'il est plus grand que $318$, Bob perd, et si on a égalité, la partie continue.
    On procède de la même façon, mais on va comparer dorénavant aux $3$ chiffres suivants dans l'écriture de $\frac{1}{\pi}$, c'est-à-dire $309$, etc etc.
    La théorie derrière tout çà est la même, mais on se retrouve dans un environnement où on est beaucoup plus à l'aise (écriture en base $10$) 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Ce qui peut se faire avec un seul dé à dix faces.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Les Trois Glorieuses de 1830 ont renversé 89.
  • Oui, un seul dé à 6 faces aussi, évidemment. Ou un seul dé à 10 faces, ou n'importe quel outil connu en fait. Mon objectif était juste d'exposer l'idée, avec un exemple compréhensible même si on n'y comprend rien aux écritures autres qu'en base 10.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.