Inégalité entre fonction et dérivée

Boécien
Modifié (July 2022) dans Analyse
Soit $h:\mathbb{\mathbb{R^{+}}\rightarrow R^{+}}$ une fonction $C^{1}$ positive et croissante. On suppose qu'il existe $\lambda>1$ tel que pour $x>0$ on a $h(x)^{\lambda}\leq h'(x)$. Peut-on dire que $h=0$?

Déjà l'égalité pour tout $x$ implique $h=0$ car y^{\lambda}=y'\Rightarrow y(x)=\frac{c_{1}}{\left(c_{2}-x^{2}\right)^{1/\lambda}}  (voir le calcul juste ci-dessous) et c'est impossible d'avoir une fonction définie sur $\mathbb{R^{+}}$ sauf si $c_{1}=0\Rightarrow y=0$ ...

Si $h$ est bornée elle tend vers une limite et donc h'\rightarrow0\Rightarrow h\rightarrow0\Rightarrow h=0 car elle est croissante (faux comme le souligne Calli ci-dessous)

Si $h$ est non bornée elle tend vers l'infini et $ h'$ aussi mais là je ne vois pas trop comment arriver à une contradiction.

Réponses

  • etanche
    Modifié (July 2022)
    $y’=y^a$ donne
    $ y(x) = ((a-1)(C -x))^{\frac{1}{1-a}}$.
  • Calli
    Modifié (July 2022)
    Bonjour
    Boécien a dit : 
    $y^{\lambda}=y'\Rightarrow y(x)=\frac{c_{1}}{\left(c_{2}-x^{2}\right)^{1/\lambda}}$
    C'est bizarre. Ça n'est pas du tout ce que je trouve.
    Edit : croisement avec le message d'etanche.
    Boécien a dit :
    Si $h$ est bornée elle tend vers une limite et donc $h'\rightarrow0$ [...] car elle est croissante
    Ça n'est pas forcément vrai ça. Tu peux imaginer une fonction croissante convergente qui parfois des petits sauts abruptes, donner à la dérivée de grandes valeurs en certains endroits. Ou tu peux regarder la primitive $h$ d'une fonction convenable qui a une infinité de pics dont la hauteur ne tend pas vers 0.
  • Voici une stratégie possible : 
    1. Supposer par l'absurde qu'il existe $h:\Bbb R_+\to\Bbb R_+$ telle que $h'\geqslant h^\lambda$ et $x_0\in\Bbb R_+$ tel que $h(x_0)>0$.
    2. Notons $y$ l'unique solution de $y'=y^\lambda $ telle que $y(x_0)=h(x_0)$. On peut la calculer explicitement et normalement elle diverge en temps fini.
    3. Montrer que : $\forall x\geqslant x_0, \; h(x)\geqslant y(x)$. En déduire que c'est absurde.
    Je n'ai pas fait tous les calculs donc je n'assure pas à 100% que ça fonctionne.
  • JLapin
    Modifié (July 2022)
    Supposons qu'il existe $a>0$ tel que $h(a)>0$. Alors on a $h(t)>0$ pour tout $t\geq a$.
    En intégrant l'inégalité $\frac{h'(t)}{h(t)^\lambda}\geq 1$ sur $[a,x]$ pour $x>a$, on obtient que $h(x)^{1-\lambda}$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, ce qui est absurde.
  • Boécien
    Modifié (July 2022)
    Merci Calli et Etanche. J'ai abusé de la bière à midi et, avec cette chaleur, c'est pas recommandé! En reprenant la suggestion de JLapin je procède comme ceci. Comme $h$ est positive et croissante, s'il elle n'est pas nulle, il existe $x_{0}$ tel que $h(x)>0$ pour $x\geq x_{0}$. Maintenant$$-\frac{d\left(h(t)^{1-\lambda}\right)}{dt}=\left(\lambda-1\right)\frac{h'(t)}{h(t)^{\lambda}}\geq\lambda-1$$et donc on aurait en intégrant entre $x_{0}$ et $x$$$-h(x)^{1-\lambda}+h\left(x_{0}\right)^{1-\lambda}\geq\left(\lambda-1\right)\left(x-x_{0}\right)$$Le terme de gauche est borné et celui de droite tend vers l'infini. Contradiction.
  • Boécien
    Modifié (July 2022)
    Ce lapin est malicieux. J'étais tombé sur cette inégalité en m'attaquant à une question d'Etanche dans un autre fil car des choses m'échappaient dans le lien vers un forum anglais.
  • Lars
    Modifié (July 2022)
    Bonjour
    N'apporte rien à ce qui a été écrit plus haut.
    Si $h$ n'est pas identiquement nulle,  $h$ est strictement positive au voisinage de l'infini (à justifier) d'où $h^{\lambda-1}=O_{+\infty}(h'/h)$ d'où par intégration $h^{\lambda} =O_{+\infty} (\ln h) $ et donc $h$ est bornée.
    Mais alors il existe (à justifier) $c>0$ tel que $c=O_{+\infty} (h') $ d'où $cx=O_{+\infty} (h) $ qui n'est pas compatible de $h$ bornée.
    Donc $h$ est identiquement nulle.
    La fonction identiquement nulle répond à la question.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.