Résultats numériques
Bonjour,
A cette page https://math.stackexchange.com/questions/22411/computing-the-product-of-p-p-2-over-the-odd-primes?rq=1 , il est question de résultats numériques à la section 3 que je n'arrive pas à retrouver : l'internaute dit qu'il a utilisé la constante $c$ du théorème des nombres premiers pour calculer pour certaines valeurs de $n$ (10, 50, etc.) le terme d'erreur et qu'il trouve ceci et cela.
Si quelqu'un trouve comment ces résultats ont été estimés, merci de me le dire.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla
Réponses
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Si la question est "quelle valeur donner à $c$ ?", alors il faut savoir qu'il existe aujourd'hui plusieurs versions explicites du TNP.
Par exemple, si $x \geqslant 229$, tu peux prendre $c = 6,455^{-1/2} \approx 0,3936$. -
En fait, la question était plutôt quelle valeur de $c$ a-t-il pris pour trouver les valeurs qu'il fournit ?Merci de la réponse.Pour la valeur de $c$ que vous proposez, on trouve :
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Il n'y a pas que la valeur de $c$ qui entre en jeu, il y a aussi celle de la constante du terme d'erreur.
Pour être complet, voilà le TNP explicite obtenu par Tim Trudgian en 2016 : poour tout $x \geqslant 229$, on a
$$\pi(x) = \textrm{Li}(x) + O^\star \left( \frac{0,2795 \, x}{(\log x)^{3/4}} \, e^{-c \sqrt{\log x}} \right)$$
où la constante $c$ est indiquée dans mon message précédent.
Pour de plus grandes valeurs de $x$, la valeur de $c$ peut être améliorée. Par exemple, Trudgian & Platt obtiennent en 2021 l'inégalité
$$\pi(x) = \textrm{Li}(x) + O^\star \left( 235 \, e^{-0,417 \sqrt{\log x}} \right)$$
valide pour $x \geqslant e^{2000}$.
Il existe également des résultats explicites avec le terme d'erreur, le meilleur actuel, découlant de la région sans zéro de Korobov-Vinogradov. Je n'en mets pas ici, car tu sembles souhaiter un terme d'erreur découlant de la région sans zéro de De La Vallée Poussin & Hadamard, moins bonne, mais toujours utile. -
Ce que je souhaitais surtout, c'est savoir quelle constante (et la référence) l'internaute avait utilisée pour trouver les résultats qu'il trouve.Merci pour les références.
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Étant donné qu'il existe plusieurs versions explicites possibles du TNP, le mieux est encore de le lui demander.
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