Ensemble de convergence d'une suite
La partie fractionnaire m'amuse beaucoup en ce moment. En tripotant pari-gp j'ai eu l'idée d'étudier la suite $u$ définie par $u_{1}=x$ et
$$u_{n+1}=\frac{1}{u_{n}}+\left\{ u_{n}\right\},$$
où $\left\{ x\right\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$.
Peut-on caractériser l'ensemble $X$ des valeurs de $x=u_1>0$ telles que la suite $u_{n}$ tend vers $1$ ?
Il me semble qu'on a par exemple $[1,2[\cup]\frac{3+\sqrt{5}}{2},3[\subset X$ mais lorsque $x$ approche zéro il y a des discontinuités difficiles à évaluer. Ainsi je trouve que $x=0.03\in X$ mais pas $x=0.02$.
Merci.
Réponses
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Soient $a\approx0,518$, $b\approx0,648$ et $c\approx0,857$ les trois racines réelles du polynôme*
$P=-4x^{15}+28x^{14}-112x^{13}+302x^{12}-626x^{11}+1032x^{10}-1396x^9+1571x^8-1476x^7+1159x^6-752x^5+396x^4-164x^3+50x^2-10x+1,$
$u\approx2,024$, $v\approx2,191$ et $w\approx2,449$ les trois racines réelles du polynôme*
$Q=-4x^{15}+68x^{14}-532x^{13}+2526x^{12}-8086x^{11}+18356x^{10}-30326x^9+36939x^8-33378x^7+22419x^6-11156x^5+4064x^4-1056x^3+186x^2-20x+1.$
Sauf erreur, il semble que si la suite $(u_n)$ ne converge pas vers $1$, elle converge vers les cycles $(b,v)$ ou $(u,a,w,c)$.
(*) Si $F$ et $G$ désignent les fractions rationnelles $X+1/X$ et $X+1/X-2$, $P$ et $Q$ sont respectivement les numérateurs des fractions rationnelles $G\circ F\circ G\circ F-X$ et $F\circ G\circ F\circ G-X$ (réduites et rendues irréductibles).
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Bravo Onoff. Très impressionnant et intéressant. Si on appelle $X_1$ l'ensemble des valeurs de départ qui amènent à $1$, $X_2$ l'ensemble des valeurs de départ qui amènent au cycle $(b,v)$ et $X_3$ l'ensemble des valeurs de départ qui amènent au cycle $(u,a,w,c)$ quelles seraient les densités respectives de $X_1,X_2,X_3$ dans $\mathbb{R}$?J'ai tracé grossièrement ci-dessous les points $(x,x)$ des $x$ de $X_1$ dans l'intervalle $[3.5,4.5]$ qui laissent penser que la densité de $X_1$ n'est pas nulle. On voit une sorte de symétrie dans cet intervalle et le premier $x$ semble être $2+\sqrt 3$.
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Boecien dans la foulée as-tu exploré la suite $$u_{n+1} = f(u_n) + \frac{1}{f(u_n)},$$ où $ f(x)$ est la partie fractionnaire de $x$ ?
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Je crois que celle là converge vers $1$ sauf pour un départ à $1/2$. Sinon j'ai aussi étudié la suite $u_{1}>0\neq1$ et $$u_{n+1}=\frac{1}{u_{n}}+\left\{ u_{n}^{2}\right\} ,$$ pour laquelle je pense que
1. $u_{n}$ ne converge pas
2. $\limsup_{n\rightarrow\infty}u_{n}=2$
3. $\liminf_{n\rightarrow\infty}u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
4. Pour $n$ assez grand $u_{n}$ ne se trouve jamais dans l'intervalle $]a,b[$, où $a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $b=2-\frac{\sqrt[3]{144}}{12}\left(2\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{81}\right)$
5. $u_{n}$ est dense dans $]\frac{1}{\sqrt{2}},1+\frac{1}{\sqrt{2}}[$ et dans $]2-\frac{\sqrt[3]{144}}{12}\left(2\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{81}\right),2[$
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