Solution compliquée pour variations ?

adrien2019
Modifié (July 2022) dans Analyse
Bonjour à tous
Dans le cadre d'un exercice, je cherche à déterminer les variations sur $[ -1/2 , 1/2]$ de la fonction $t \mapsto (1+t)^{\frac{1}{t}}$ (non définie en $0$ mais prolongée par continuité). J'ai finalement réussi à trouver mais après des calculs qui me semblent anormalement longs pour une fonction ayant une "tête" aussi simple.
En gros je passe sous forme exponentielle pour me ramener à étudier $\frac{\ln (1+t)}{t}$. Je dérive cette dernière fonction, puis je simplifie par $1/t$ pour obtenir $h(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{\ln (1+t)}{t}$. Je mets tout au même dénominateur (dont je peux déterminer le signe en fonction de $t$), puis je me concentre sur le numérateur $k(t) = t - (1+t) \ln (1+t)$. Pour trouver le signe de ça, je fais le changement de variable $u=1+t$, ce qui me donne une nouvelle fonction $m(u)$ que je dérive pour enfin trouver son signe en fonction de $u$. Je rembobine ensuite les étapes (je ne l'ai pas encore fait) pour obtenir les variations de la fonction de départ. Bref ça me semble atroce pour un truc ayant une tête plutôt gentille (il doit y avoir un truc simple que je n'ai pas vu...).
Si vous voulez plus de détails sur ce que j'ai fait, demandez-le moi et je détaillerai plus (comme c'est assez long j'ai un peu la flemme de tout recopier maintenant), mais j'aimerais savoir si quelqu'un a une solution "simple" pour déterminer son sens de variation (surtout que le tracé semble me donner une fonction décroissante)... Quelqu'un a-t-il une solution ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Réponses

  • Bonsoir, 
    Le changement de variable est superflu. On a k’(t)=-ln(1+t) , k’(0)=0 et k(0)=0 
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Sinon, ta fonction a les mêmes variations que $t\mapsto \frac{\ln(1+t)}{t}$ qui est décroissante puisque c'est un taux d'accroissement d'une fonction concave.
  • etanche
    Modifié (July 2022)
    Tu as aussi $\frac{\ln(1+t)}{t}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+tx}dx$ 
  • bisam
    Modifié (July 2022)
    \[\frac{1}{t(1+t)}-\frac{\ln(1+t)}{t^2}=\frac{1}{t^2}\left(\int_0^t \frac{du}{1+t}-\int_0^t \frac{du}{1+u}\right)\leq 0\]
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