Une limite naturelle

Cidrolin
Modifié (July 2022) dans Analyse
$a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs. On définit $f$ de $\N$ vers $\N$ par $f(x)=a$ si $x\not = 2$ et $f(2)=b$.
Pour $n>1$, soit $u_n=\sum f(a_m)/(a_1a_2\cdots a_m)$, où la somme  est sur tous les $m$ et toutes les suites finies d'entiers  strictement positifs $a_1,a_2,\dots, a_m$ telles que $a_1=n$ et $a_{i+1}\leq a_i -2$, pour $1\leq i \leq m-1$.
Par exemple $u_6=\dfrac{a}{6}+\dfrac{a}{6\times4}+\dfrac{a}{6\times3}+\dfrac{b}{6\times2}+\dfrac{a}{6\times1}+\dfrac{b}{6\times4\times 2}+\dfrac{a}{6\times4\times 1}+\dfrac{a}{6\times3\times 1}$.
Déterminez $a$ et $b$ pour que la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ soit dans $\N^*$.

Réponses

  • Si j'ai bien compris l'énoncé je trouve $a=3c$ et $b=4c$ avec $c\in\N^*$, la suite $u_n$ étant alors constante égale à $2c$.
  • Bien compris ! Bravo !
  • La limite de $u_n$ est  :   $\quad \dfrac{3b-4a}{e}+2a-b$
  • jandri
    Modifié (July 2022)
    J'ai la même chose.
    Je ne donne pas la relation de récurrence vérifiée par la suite $(u_n)$ pour laisser chercher les autres.
    Merci pour cet exercice original.
  • Cidrolin
    Modifié (July 2022)
    On trouve : $$u_n=\dfrac{\lfloor \frac{n!} {e} +\frac 12 \rfloor}{n!} (3b-4a)+2a-b$$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.