Quadrilatère circonscriptible à un cercle

Yannguyen
Modifié (July 2022) dans Géométrie
Bonjour à tous,
lors de mon passage à Lille j’ai rencontré cet exercice à l’énoncé facile, et qui ne manque pas d’astuce. Exercice qui a sûrement été discuté sur le forum  
On cherche un CNS sur un quadrilatère convexe ABCD pour qu’il ait un cercle qui y soit inscrit !
Cordialement,
Yann

Réponses

  • Chaurien
    Modifié (July 2022)
    De mémoire : $AB+CD=BC+AD$. Je recherche la démonstration.
  • yan2
    Modifié (July 2022)
    Bonjour,
    un tel quadrilatère est appelé tangentiel ou circonscriptible. Il existe dans la littérature plusieurs CNS pour qu'un quadrilatère convexe soit tangentiel. Ci-dessous il y a 4 de ces CNS.
  • Yannguyen
    Modifié (July 2022)
    Et peut-on dire alors quelque chose au sujet des quatre centres des cercles inscrits dans les quatre triangles de la figure ?
    cette question qui est de moi peut être sans intérêt. 
    Je n’ai pas fait de figure  :(
    De plus, ACB étant fixé, quel est le lieu des points D qui satisfont la CNS sur le quadrilatère (facile). 
    Yann 
  • La condition du théorème 49 ci-dessus est dite théorème de Pitot.
  • yan2
    Modifié (July 2022)
    @Yannguyen : concernant ta question avec les quatre cercles inscrits je pense que tu fais allusion au fameux théorème de Casey.
  • Yannguyen
    Modifié (July 2022)
    Bonjour Yan2
    j’ai comme l’impression que le théorème de Cassey est tout autre. 
    J’ajoute une question : quel est le lieu du centre du cercle inscrit à ABCD quand A, B et C sont fixes ?
    Yann
  • Chaurien
    Modifié (July 2022)
    Une démonstration dans : F. I. C, Exercices de géométrie, Mame, Poussielgue, 1882, 1128 p. Les initiales en guise de nom d’auteur renvoient à un Frère des Écoles Chrétiennes. Lorsqu'un Frère des Écoles Chrétiennes écrivait un livre, son nom n'était pas mentionné, mais on indiquait les initiales du Supérieur général en fonction. Il y a toute une collection de tels traités, qui illustrent le rôle éminent de l’Église catholique dans le progrès scientifique.
  • Bonjour à tous
    F.I.C? connais pas!
    Amicalement
    pappus
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (July 2022)
    Bonjour,
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol20.html
    puis Forme et mouvement  p. 16-23
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Chaurien
    Modifié (July 2022)
    Pappus, les livres des frères des écoles chrétiennes sont parus sous diverses signatures : F. I. C,, F. J., F. G.-M,... C'est expliqué dans la notice de Gabay que j'ai jointe à mon message précédent. Ce livre-ci a eu au moins 8 éditions, jusqu'en 1920,  avec modifications et additifs, certaines avec la signature F. G.-M., Frère Gabriel-Marie, à qui est consacrée la notice de Gabay susdite. Le nom d'origine de F. G.-M. était Edmond Brunhes, et c'était un remarquable auteur de traités mathématiques.
    Et aussi une autre fois au moins, de manière plus complète, mais il faut trouver le fil.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Modifié (July 2022)
    J'ai oublié de donner la page précédente du livre que j'ai cité, où l'on évoque l'auteur du théorème : Henri Pitot, ingénieur hydraulicien français (occitan) (1695 – 1771) https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Pitot
  • gipsyc
    Modifié (July 2022)

    Une condition nécessaire et suffisante pour que le quadrilatère ABCD possède un cercle inscrit est que
       AB+CD=AD+BC (théorème de Pitot).

    Pour qu'un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit, il faut que ses bissectrices soient concourantes.
    Leur point d'intersection est alors le centre du cercle.
    Les 4 quadrilatères découpés par les rayons en vert sont des cerf-volants convexes, et de ce fait circonscriptibles comme le quadrilatère de départ.


    Jean-Pol Coulon
    Quelques autres propriétés.

     
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