Ensembles dénombrables

lourrran

Oui, Martial, je veux bien le croire.
Qu'est ce que le type a à y gagner ?
Soit il sait faire l'exercice très facilement, et on va dire que c'est la moindre des choses.
Soit il hésite plus de 3 minutes, ou pire, il ne sait pas faire, et on va dire qu'il est prof, et qu'il ne sait même pas faire un exercice de lycée.

Pile tu perds, face tu ne gagnes pas.

OShine

@lourrran tu sais le niveau des élèves qu'on a, cet exercice donné en lycée c'est un massacre. Rien que déjà une application définie sur un produit cartésien d'ensembles, je crois que c'est hors-programme.

lourrran

A partir du moment où le meilleur des profs de collège, le seul qui s'intéresse aux maths du supérieur n'arrive pas à faire cet exercice, c'est clair qu'il ne saura pas l'expliquer aux élèves.
D'où le massacre.

Martial

@OShine : à l'époque il y avait beaucoup de PEGC (Professeurs d'Enseignement Général de Collège, ce corps a disparu aujourd'hui), et ces gens-là savaient pertinemment qu'ils n'enseigneraient jamais en lycée. Mais quand même, comme tu dis, c'est triste.

Un membre du jury d'agreg m'avait cité un jour le théorème empirique qui dit "sans travail personnel, le niveau d'un prof tend asymptotiquement vers celui de ses élèves". L'exemple que je donne semble confirmer la validité de ce théorème.

Alexique

@OShine
Donc pour présenter ce problème à des élèves, tu te sens OBLIGE de parler de produit cartésien d'ensembles ? OMG
Ben oui, c'est sûr qu'ils vont avoir du mal, gros malin ! Surtout si tu leur demandes de trouver une fonction bijective/injective/surjective sans les définitions ou avec les définitions formelles, il n'y aura pas de miracle. 

Pour ma part : "On remplit une grille infinie par des nombres entiers" puis un exemple de telle grille avec des nombres au pif.
"Trouver une façon de remplir cette grille infinie par tous les entiers naturels" (on pourrait presque parler d'algorithme non ? ie qu'on comprenne la façon de générer la grille de façon aussi grande que souhaitée). 

OU BIEN

"On pave le plan en plaçant un entier naturel à chaque point de coordonnées entières" puis exemple puis "Trouver une façon de paver tout le plan par tous les entiers naturels".

Voilà, on peut revoir le vocabulaire, la tournure des phrases etc.. Mais je pense que la bonne façon, c'est comme ça puis essayer de les guider, de leur montrer des façons de faire qui ne marchent pas (genre remplir une colonne en entier etc..)

lourrran

Ici, si on veut, on peut 'étendre' l'exercice. On cherche toujours une bijection, toujours représentable par un dessin, mais maintenant entre $\mathbb{Z}^2$ et $\mathbb{Z}$
Idem, entre $\mathbb{Z}^2$ et $\mathbb{N}$
Et Idem, entre $\mathbb{N}^2$ et $\mathbb{Z}$
Pour ce dernier cas, j'ai eu du mal à trouver une solution, mais finalement, en réfléchissant ...

Soc

Pourquoi les propos sont-ils toujours caricaturaux dans un sens ou dans l'autre? Il y a certes beaucoup de profs de collège qui ne s'intéressent pas aux exercices de lycée, mais d'une part cela ne veut pas dire qu'ils ne sachent pas les résoudre, d'autre part il y en a aussi beaucoup qui s'y intéressent. Pour reprendre l'exemple ici, la majorité des collègues (non vacataires) que j'ai croisés sauraient faire l'exercice de ce fil sans soucis.

@Martial Comment tu définis 0,00...0001?

Martial

@Soc :  Je ne le définis pas. Quand je parlais de plusieurs démonstrations je pensais plutôt à $0,999... =1$.

Soc

Là ça me parle plus! En passant par l'équation 10x-9 =x ça les convainc à peu près à partir de la 4e. En 6e je leur dis qu'on ne peut intercaler aucun nombre entre 0,9999... et 1 et ça les convainc aussi à peu près.

Alexique

$0,0...1=10^{-n}$ avec le $1$ en $n$ième position. Il est donc faux que $0,0...1=0$, attention. Un élève peut remarquer que $0,0...1>0$ par exemple.

@lourrran : ben on remplit $\mathbb{N}^2$ par $\mathbb{Z}$ comme on remplit  $\mathbb{N}^2$ par $\mathbb{N}$ simplement dans l'ordre : $0,1,-1,2,-2,...$ selon les diagonales ascendantes.

lourrran

Oui @Alexique, par exemple. 
Quand on a une solution, cette solution paraît évidente, et on se dit : bon sang, mais c'est bien sûr ! . Mais quand on n'en a pas, on peut tourner en rond 2 ou 3 minutes, voire plus, avant d'en trouver une.
Je pense que c'est un petit travail de recherche qui serait très utile pour notre ami OShine : trouver une répartition, autre que celle que tu proposes, évidement.
Et trouver aussi des 'dessins' pour les 2 autres cas que je proposais.

Alexique

Et trouver les formules des bijections correspondant aux dessins éventuellement. Ca fait du travail pour un paquet d'ahuris autres qu'Oshine, tout ça Mais imaginons qu'il sache ce qu'est une composée de fonctions, soyons fous... Oups, j'en ai déjà trop dit.

rakam

Quand on n'est pas obligé, pour étudier une bijectivité, il vaut mieux commencer par la surjectivité.

Pourquoi ? En cas de chance si on trouve un unique antécédent, tout est terminé.

Ici c'est facile puisque tu dois trouver une diagonale comportant $n$. Or sur cette diagonale on commence par $f(p,0)$ et on finit par $f(p+1,0)-1$.

La croissance stricte de $p\mapsto f(p,0)$ assure l'existence d'un unique $p$ tel que $f(p,0)\leq n< f(p+1,0)$ et on termine en cherchant l'entier $q$ qui va bien.

OShine

@rakam je n'ai pas compris la diagonale qui commence par $f(p,0)$ et qui finit par $f(p+1,0)-1$ ? Tu n'aurais pas un schéma pour expliquer ton raisonnement ? 
La fin je n'ai pas compris non plus comment trouver $q$.
En fait, je n'ai pas compris ta méthode.

rakam

Bon, c'est vrai qu'il ne faut pas toucher à TES notations : ce que j'ai noté $p$ est le $k=p+q$ de ton énoncé avec son dessin !

Tu ne vas pas nous faire croire que tu as regardé ce dessin pendant tous ces messages sans voir que les $f(k,0)$ sont justement le début de chaque diagonale !

Donc tu commences par prouver l'existence d'un unique $k$ tel que $f(k,0)\leq n< f(k+1,0)$ et tu prends $p+q=k,\ q+f(k,0)=n$ (bref je t'ai fait l'exercice et c'est bien dommage qu'il faille en finir ainsi !)

Amédé

Sinon la preuve de cet exercice est faite dans Jean Dieudonné éléments d'analyse tome1... Disponible en ligne. Ça ira plus vite.

OShine

Je ne vois pas le lien entre la stricte croissance de $k \mapsto f(k,0)$ et l'existence d'un unique $k$ tel que $f(k,0) \leq n < f(k+1,0)$.
$f(p,q)=n = f(k,0)+q$ donc $\boxed{f(k,0) \leq n}$ et $f(k,0) =n -q <f(k+1,0)$.
Je n'arrive pas à montrer que $n < f(k+1,0)$.

lourrran

Incroyable.  Tu es certain que tu es prof de maths ?

OShine

Oui je ne comprends pas la méthode de @rakam

lourrran

Soit $k$ tel que $f(k,0) \le n$ ; bof ça commence mal, il y a plusieurs valeurs qui conviennent. 
Soit $k$ le plus grand entier tel que $f(k) \le n$
Oh, ça y est, c'est magique !
 $k$ est unique, et par construction, on sait que $f(k)$ ne peut pas être inférieur ou égal à n, et donc $f(k+1) > n$

Si tu avais fait un jour dans ta vie des exercices de lycée, tu aurais eu ce réflexe.  Mais tu n'en as jamais fait. Ou alors, tu as totalement effacé de ta mémoire tout ce qu'on apprend au lycée. Ou alors, tu n'en as jamais fait, et en plus, double peine, tu es incapable de reproduire un raisonnement que tu as déjà vu quelque part.

OShine

Je n'ai pas compris pourquoi $f(k+1)>n$.

lourrran

As tu compris qu'on ne peut pas avoir $f(k+1) \le n$ ?

raoul.S

lourrran a dit : 

 $k$ est unique, et par construction, on sait que $f(k)$ ne peut pas être inférieur ou égal à n, et donc $f(k+1) > n$

C'est une coquille. Il faut écrire :  $f(k+1,0)$ ne peut pas être inférieur ou égal à $n$ et donc $f(k+1,0)>n$. Je corrige dans l'espoir que OShine comprenne...

OShine

Par l'absurde si $f(k+1,0) \leq n$ comme on a $f(k,0) \leq n$ c'est impossible car $k$ est le plus grand entier tel que $f(k,0) \leq n$ alors que $k+1>k$.
Finalement $f(k+1,0) > n$.

raoul.S

@OShine suis mon conseil : la prochaine fois que tu ressens le besoin de faire ce genre de vérification fais-là sur un brouillon, pas sur le forum.

lourrran

Je traduis : si tu pouvais arrêter de donner une image catastrophique des profs de collège, tous tes collègues t'en seraient reconnaissants.

OShine

Ah d'accord. 

Martial

HS on : je viens seulement de remarquer qu'il y a 3 "r" à lourrran.

HS off.

lourrran

Quand on aime, on ne compte pas.