Espaces localement connexes

Haho

Que la paix soit sur vous les gars, j'ai essayé de résoudre cette question en utilisant la définition, mais je n'ai pas atteint le niveau requis. Y a-t-il des idées qui peuvent m'aider à le résoudre?, merci 

Dom

Bonjour,
peux-tu commencer par écrire la définition de « espace localement connexe » ?
cordialement
Dom

Haho

.

Dom

Édit : il y avait écrit autre chose que "Merci" tout à l'heure, sinon je n'aurais pas répondu ce qui suit.

Je n’en ferai pas davantage, pour ma part. 

Avant de travailler sur un exercice il faut avoir une définition des mots clés. 

Ici, de mon point de vue : localement connexe. 

Sais-tu ce que c’est ?

gerard0

Premier passage sur le forum, et déjà une réflexion désagréable ! Tu démarres mal Haho ! Si une question sur ce que tu utilises comme définition est déjà trop pour toi, tu vas avoir des déconvenues ici (et sur plein de forums).

Ici, la tradition est d'aider ceux qui montrent ce qu'ils ont fait. On attendra ...

Cordialement.

Georges Abitbol

@Haho : ce n’est pas une question de niveau, ici. Dis-nous où tu en es, ce que tu sais et tu verras que tu arriveras bien vite à résoudre ton exercice.

Haho

@Georges Abitbol : je suis étudiant de licence mathématiques, je sais que pour montrer qu'un espace est localement connexe, on montre que tout point admet une base de voisinages connexes. Pour montrer ça pour A de la question je ne peux pas trouver une base de voisinages connexes pour les points de A. Pour la partie 2 de la question je remarque que pour montrer que A barre n'est pas localement connexe il suffit de montrer que le point 0 n'admet pas une base de voisinages connexes, j'essaye par absurde mais je suis bloqué.

Georges Abitbol

Pour l’instant c’est bien. Pour le premier espace, est-ce que tu vois de jolies bases de voisinages (pour ensuite te demander si ces voisinages sont connexes) ?

Haho

@Georges Abitbol :

raoul.S

Si $\varepsilon$ est assez petit on peut déterminer facilement $ ]1/n-\varepsilon, 1/n+\varepsilon[\,\cap\, A$...

GaBuZoMeu

Bonjour

Une formulation incorrecte : tu écris qu'un intervalle ouvert centré en $1/n$ intersecté avec $A$ est une base de voisinages de $1/n$ dans $A$. Non ! C'est la famille de tous les intervalles ouverts centrés en $1/n$ intersectés avec $A$ qui forme une base de voisinages.

On peut se restreindre aux intervalles de longueur plus petite qu'un réel donné. Et si $\epsilon >0$ est tout petit, qu'est-ce que $\left]1/n-\epsilon, 1/n+\epsilon\right[ \cap A$ ?

Haho

gerard0

Bonjour.

"est-ce que l'ensemble $\{\frac 1 n\}$ est connexe ?"

Tu ne peux pas répondre toi-même à cette question ? Apprendre ce que veut dire connexe ?

Cordialement.

Haho

@gerard0 : oui {1/n} est connexe car pour toute application continue f : {1/n}----->{0,1} est constante.

Alors là j'ai fini pour la partie 1 de la question. Pour la 2 éme partie ,je veux montrer que {0} n'admet pas un base de voisinages connexes, c'est difficile, donner des idées à utiliser pour montrer par l'absurde et merci.

[Ne pas confondre les touches parenthèses () avec accolades {}. AD]

raoul.S

Tu peux montrer qu'aucun des voisinages de $0$ dans $\overline{A}$ n'est connexe. Pour ce faire tu considères un voisinage de $0$ dans $\overline{A}$ et tu montres qu'il contient un sous-ensemble ouvert et fermé (pour la topologie induite sur $\overline{A}$).

gerard0

Ce serait plus simple si tu reconnaissais la topologie de A, qui est très classique. Ce que tu viens de trouver devrait te donner la réponse.

Cordialement.