Incomplet

Lolo36

Bonjour,

Voici mon problème : Je voulais appliquer la propriété $\forall  (A,B )\in\mathbb{R^2}, \ (A=B) \Longrightarrow (A^2=B^2)$ à l'exemple $(7=7)\Longrightarrow (49=49)$.

D'une part, $(7=7)\Longrightarrow ((7^2=7^2)\iff (49=49))$. OK.

D'autre part, $(49=49)\Longrightarrow (7^2=7^2)\Longrightarrow (\sqrt{7^2}=\sqrt{7^2})\Longrightarrow (7=7)$. Si on s'arrêtait là, on aurait conclu qu'en fait, c'est bien une équivalence et non une implication.

Mais en procédant autrement, on aurait aussi : $(49=49)\Longrightarrow (7^2=7^2)\Longrightarrow (7^2-7^2=0) \Longrightarrow (7+7)(7-7)=0\Longrightarrow (7=7)\vee(7=-7)$. Donc cette méthode nous rend aussi $(7=-7)$ dont la valeur de vérité est fausse, mais qui justifie qu'il y a bien implication et non équivalence.

Avec une autre façon encore : $(49=49)\Longrightarrow (7^2=7^2) \Longrightarrow (\mid 7^2\mid =\mid 7^2\mid) \Longrightarrow (\mid 7\mid^2=\mid 7\mid^2)\Longrightarrow (\sqrt{\mid7\mid^2}=\sqrt{\mid 7\mid^2})\Longrightarrow (\mid 7\mid=\mid 7\mid) \Longrightarrow (7=7)\vee (7=-7).$

Désolé si la question est bête, mais c’est juste pour comprendre d’où vient la différence qu'avec la première méthode on a seulement $(7=7)$ et qu'avec d'autres méthodes, on a $(7=7)\vee(7=-7)$.

Merci d’avance

[Utilisateur supprimé]

Lolo36 a dit :
$(7^2=7^2)\Longrightarrow (\sqrt{7^2}=\sqrt{7^2})\Longrightarrow (7=7)$.

Pas besoin de tout ca, dans une théorie égalitaire, on a toujours $x=x$.

De même, on a toujours : $true \vee false \vee false \vee false \vee false \vee false \vee false ... =  true$

Donc $(7=7)\vee(7=-7) \vee (12=46) \vee (45653=34532)...$ est vraie.

raoul.S

On a bien l'équivalence  $(7=7)\iff (49=49)$ mais on pas l'équivalence $\forall  (A,B )\in\mathbb{R^2}, (A=B)\iff (A^2=B^2)$.

Lolo36

Merci turboLanding ! Donc $(7=7)\vee(7=-7) \iff (7=7)$ ?

Ah oui je vois raoul.S, mais pourquoi du coup ? Il s'agirait d'un cas particulier ?

JLapin

Oui, $7=7$ est un cas particulier de $A=B$.

Lolo36

Merci bien, en tout cas, je vois que la logique, si on peut l'appeler ainsi, est vraiment infaillible

AlainLyon

Pardon mais $A=A$ est une tautologie (pas de $\forall$ ou de $\exists$) donc $(A=A)$ et $(B=B)$ représentent la même tautologie (les variables A et B sont muettes comme dans $\int_0^x f(A)dA$