Étude d'une diagonalisabilité

JLapin

L'exercice mentionné ci-dessous m'intéresse. Pensez-vous qu'il soit raisonnablement possible de trouver une CNS de diagonalisabilité ?

PS pour la modération : serait-il possible de laisser les sujets séparés afin de ne pas noyer les contributions pertinentes dans le brouillard généré par les réponses fantaisistes d'Oshine ?

Lars

Bonsoir,

on suppose c différent de b et les $ a_i$2 à 2 distincts, $bc$ non nul et si on suppose que le calcul du polynôme caracteristique donné dans l'autre fil est correct (non vérifié)

On traite le cas $n\ge 2$

$P=\prod_{i}^{n} X-a_i$ et $P_i$ le polynôme déduit du précédent en retirant le i ème facteur

Soit $\lambda$ dans le spectre complexe de la matrice M.

Ainsi le rang de $M-\lambda I_n \le n-1$.

Supposons que ce rang soit inférieur ou égal à $n-2$ alors tous les mineurs principaux (je ne sais plus si on dit comme ça : ceux en considérant la diagonale principale, je ne sais pas si c'est clair) de taille $n-1$ sont donc nuls.

Ainsi $\forall i, b(\lambda-a_i+c)P_{i}(\lambda+c) - c(\lambda-a_i+b)P_{i}(\lambda+b)=0$ et $bP_i(\lambda+c)-cP_i(\lambda+b)=0$

On a un système linéaire 2 équations 2 inconnues $P_i(\lambda+c),  P_i(\lambda+b)$ avec un déterminant non nul d'où $\forall i, P_i(\lambda+c)=P_i(\lambda+b)=0$

En particulier si on prend l'indice $n$, alors $\lambda+c$ est l'un des $a_i, i<n$ mais alors $P_i(\lambda+c)$ ne peut pas être nul ($P_i(a_i)$ n'est pas nul car on a supposé les $a_i$ 2 à 2 distincts).
Contradiction.

Le rang est donc $\ge n-1$ et le sous-espace propre est de dimension 1 et donc comme c'est vrai pour tout $\lambda$, finalement $M$ est diagonalisable (dans $ M_n(\C)$).

CORRECTIF
La conclusion est fausse. Tout ce qu'on a prouvé est : $M$ est diagonalisable si, et seulement si toutes ses valeurs propres sont simples.

raoul.S

Une condition suffisante à défaut d'avoir mieux : les $a_i$ distincts deux à deux et $b\neq c$

Car si je me fie au polynôme caractéristique trouvé  par OShine (edit : ne jamais faire confiance ) on a : $\chi_M  (X)= \dfrac{ b \displaystyle\prod_{i=1}^n (X-a_i+c) - c \displaystyle\prod_{i=1}^n (X-a_i+b) }{b-c}$ où $M$ est la matrice de l'exo. En notant $H(X):=\displaystyle\prod_{i=1}^n (X-a_i)$ on a à une constante près que je vire : $\chi_M  (X)= bH(X+c)-cH(X+b)$ et donc $ \chi_M  (X)'=bH'(X+c)-cH'(X+b)$.

Ainsi si les $a_i$ sont distincts deux à deux alors $pgcd(H(X), H'(X))=1$ et par suite $pgcd(\chi_M, \chi_M')=1$ ce qui montre que le polynôme caractéristique est à racines simples donc $M$ est diagonalisable.

PS : je viens de me rendre compte que Lars a posté un truc semblable, mais j'ai fait l'effort d'écrire alors je poste (puis c'est une variante donc...)

Edit : il semblerait que le polynôme caractéristique utilisé ne soit pas le bon comme indiqué dans les messages suivants.

Edit 2: il y a une erreur de calcul finalement...

JLapin

Merci d'avoir fait tout ces calculs !

Si je lis en diagonale, tu as en fait démontré que les sous-espaces propres sont des droites, donc que la matrice est diagonalisable dans $M_n(\C)$ ssi son polynôme caractéristique est à racines (complexes) simples ?

Lars

Oui, effectivement ma "preuve" est foireuse.

Ce polynôme caractéristique (ie celui qui est donné dans l'autre fil) est-il correct  ? je comprends que raoul.s n'a pas non plus vérifié...

Sans l'hypothèse que le polynôme caractéristique de l'autre fil est correct :

$n=2$ si $(a_1-a_2)^2+4bc<0$ le spectre n'est pas réel,  donc la matrice est non diagonalisable dans $M_2(\R)$.

$n=2, a_2=-a_1, bc=-a_{1}^{2}$ alors ces hypothèses assurent $tr(M)=det(M)=0$ d'où $M^2=0$, en choisissant $a_1=1,  bc=-1$ alors $M$ n'est pas diagonalisable dans $M_2(\C)$.

Commentaire : on n'utilise pas le polynôme caractéristique donné dans l'autre fil. Conséquence : l'énoncé de l'autre fil est faux (sous réserve que ce qui précède est correct, j'avoue ne pas avoir vérifié ces calculs). Ceci n'empêche pas de trouver des conditions suffisantes (resp. nécessaires) pour que cette matrice soit diagonalisable.

jandri

Pour compléter ce qu'a écrit Lars, dans le cas $n=2$ : la matrice réelle $A$ est diagonalisable dans $M_2(\C)$ sauf si $(a_1-a_2)^2+4bc=0$ avec $A$ non scalaire.

raoul.S

Hum ok donc si j'ai bien compris le polynôme caractéristique qu'on a pris n'est pas le bon...

Amédé

Il faut se placer dans $\C[X][Y]$ pour le calculer. On rajoute $Y$ à chaque coefficient de la matrice du polynôme caractéristique on obtient un polynôme $P$  de degré $1$ à coefficients dans $\C[X]$. On évalue en $b$ et $c$. Le polynôme caractéristique est $P(0)$. Je ne sais pas si c'est très clair... En tout cas c'est la bonne expression.

raoul.S

Bon, effectivement comme dit Amédé celle donnée par OShine est la bonne expression, en ce qui me concerne c'est mon calcul qui est faux (erreur dans mon brouillon dégueulasse...). Désolé.

Amédé

Attaquer ça par le polynôme caractéristique n'est pas la voie adéquate à mon avis. Mais je n'ai pas essayé.