Trajectoires e.d.o

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Bonjour, est-ce que deux trajectoires différentes (c-à-d avec conditions initiales différentes) d'une e.d.o dans $\mathbb R^2$ peuvent s'intersecter ou est-ce impossible? Merci.

JLapin

Si un certain théorème peut s'appliquer (ie. si les hypothèses sont vérifiées), c'est impossible et sinon, c'est possible.

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En effet je crois qu'il s'agit du théorème de Cauchy-Lipschitz merci.

Calli

Bonjour,
Pour être sûr que les trajectoires ne s'intersectent pas, il faut aussi supposer que l'E.D.O. est autonome, i.e. de la forme $y'(t)=f(y(t))$ et pas $y'(t)=f(y(t),t)$. Sinon un point d'une trajectoire au temps $t_1$ peut coïncider avec un point d'une autre trajectoire en un temps $t_2\neq t_1$.

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Calli, j'y ai pensé mais je crois que Cauchy_Lipschitz garantit quand même l'unicité de la trajectoire, seulement peut-être que l'intervalle de temps est centré en $t_1$ pour l'un et en $t_2$ pour l'autre?

Lars

Bonjour,

$xy'-2y=0$
Parabole et fonction identiquement nulle s'intersectent à l’origine.

$y(y'-1)=0$
Les droites d'équation cartésienne $y=x$ et $y=0$ s'intersectent à l'origine.

Calli

@Code_Name, Cauchy-Lipschitz garantit l'unicité de la solution qui vaut $x_0$ en $t_0$ (et donc l'unicité de sa trajectoire), mais pas l'unicité des trajectoires qui passent à un instant (n'importe lequel) en $x_0$.
Par exemple, si $f(y,t) = (-\sin t,\cos t)$, alors la solution qui vaut $x_0$ en $t_0$ est $y_{x_0,t_0}:t\mapsto (\cos t-\cos t_0,\sin t-\sin t_0)+x_0$. Donc la trajectoire $y_{(1,0),0}(\Bbb R)$ vaut $\mathscr{C}((0,0),1)$ (le cercle centré en $(0,0)$ et de rayon $1$) et $y_{(1,0),\pi/2}(\Bbb R)=\mathscr{C}((1,-1),1)$. Ces deux trajectoires (distinctes) s'intersectent en $(1,0)$.
Mais ceci n'arrive pas si $f$ ne dépend que de $y$ et pas de $t$.

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Je vois merci!