\(x^2+1=0\) dans \(\mathbb{F}_q\)
Bonjour à tous
Dans une démonstration, je tombe sur l'assertion suivante : "si \(-1\) n'est pas un carré dans \(\mathbb{F}_q\) (corps fini a \(q\) éléments), alors on se place dans l'extension \(\mathbb{F}_{q^2}\) dans laquelle c'en est un".
Je ne suis pas très à l'aise avec les corps finis, donc je me permets de vous demander si ma compréhension de cette affirmation tient la route.
- \(\mathbb{F}_{q^2}\) est une extension de \(\mathbb{F}_{q}\) : c'est un corps de rupture de \(X^2+1\) sur \(\mathbb{F}_q\) (\(X^2+1)\) qui est bien irréductible car \(-1\) n'est pas un carré - quand le degré du polynôme est inférieur à \(3\), il suffit de prouver qu'il n'y a pas de racine pour démontrer l'irréductibilité) ;
- par le point précédent, \(\mathbb{F}_{q^2}=\mathbb{F}_q(\alpha)\) où \(\alpha^2+1=0\), donc \(-1\) est une carré dans \(\mathbb{F}_{q^2}\) (c'est le carré de \(\alpha\)).
En vous remerciant pour l'aide que vous m'apporterez,sont
K.
Dans une démonstration, je tombe sur l'assertion suivante : "si \(-1\) n'est pas un carré dans \(\mathbb{F}_q\) (corps fini a \(q\) éléments), alors on se place dans l'extension \(\mathbb{F}_{q^2}\) dans laquelle c'en est un".
Je ne suis pas très à l'aise avec les corps finis, donc je me permets de vous demander si ma compréhension de cette affirmation tient la route.
- \(\mathbb{F}_{q^2}\) est une extension de \(\mathbb{F}_{q}\) : c'est un corps de rupture de \(X^2+1\) sur \(\mathbb{F}_q\) (\(X^2+1)\) qui est bien irréductible car \(-1\) n'est pas un carré - quand le degré du polynôme est inférieur à \(3\), il suffit de prouver qu'il n'y a pas de racine pour démontrer l'irréductibilité) ;
- par le point précédent, \(\mathbb{F}_{q^2}=\mathbb{F}_q(\alpha)\) où \(\alpha^2+1=0\), donc \(-1\) est une carré dans \(\mathbb{F}_{q^2}\) (c'est le carré de \(\alpha\)).
En vous remerciant pour l'aide que vous m'apporterez,sont
K.
Réponses
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C'est tout à fait ça.
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Autre ligne d'arguments : pour savoir si un élément est un carré dans un corps fini, on l'élève à la puissance idoine. Ici, $(-1)^{(q^2-1)/2}=1$ pour toute puissance $q$ d'un nombre premier impair (pourquoi ?).
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Bonjour @Math Coss et merci pour votre réponse.
Pourriez-vous préciser d'où vient cette méthode à "détecter les carrés" ?
Pour l'égalité que vous annonçez : comme \(q^2-1=(q+1)(q-1)\) et que \(q-1\) et \(q+1\) sont pairs, \(\frac{q^2-1}{2}\) est un entier pair (\(q\) impair supérieur à \(3\)), d'où \((-1)^{(q^2-1)/2}=1\).
K. -
En fait je suis étonné de ce résultat... ne serait-ce pas plutôt \(\frac{q-1}{2}\) à la place de \(\frac{q^2-1}{2}\) ? On aurait alors \((-1)^{(q-1)/2}=1\) si et seulement si \(q\) n'est pas congru à \(3\) modulo \(4\).
K. -
Ce que j'ai écrit est trop elliptique : le calcul $(-1)^{(q^2-1)/2}=1$ montre que $-1$ est un carré dans tout $\mathbf{F}_{q^2}$, qu'il soit un carré dans $\mathbf{F}_q$ ou pas.L'affirmation est classique quand le cardinal du corps est un nombre premier : cela donne lieu au symbole de Legendre. Voici comment on peut la voir pour un corps $K$ de cardinal $Q=1+2R$. Le groupe $K^*$ est cyclique, i.e. isomorphe à $\Z/2R\Z$, et l'élévation au carré correspond à la multiplication par $2$. Il s'agit de voir que l'image de cette application, $2\Z/2R\Z$, est le noyau de $\Z/2R\Z\to\Z/2R\Z$, $x\mapsto Rx$, ce qui est standard : l'unique sous-groupe d'ordre $R$ de $\Z/2R\Z$ est formé des $R$ éléments dont l'ordre divise $R$.
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Bonjour!
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