Des chiffres en ordre croissant

Cidrolin

On désigne par $A$ l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que les chiffres (en base $10$) de $n$ ainsi que ceux de $n^2$ soient en ordre croissant. Par  exemple : $117\in A$; $\quad 3335\in A$.

On pose $u_0=7$ et pour tout $n\in \N$ : $\quad u_{n+1}=10 u_n -3.$

Montrer que : $\forall n \in \N, \quad \forall m \in \N,\quad \dfrac {u_n +u_m}{2} \in A$.

Chaurien

D'abord, ne pas écrire « en base $10$ » car toutes les bases sont $10$. Moi j'écris : « en base dix ($=9+1$) ».

Ensuite, si j'ai bien calculé avec mon bagage d'élève de l'école primaire Monge, ce nombre $\frac {u_m+u_n}2$ s'écrit en base dix : $33...366...67$.

Chaurien

En effet $u_n=666...667$, avec $n$ fois le chiffre $6$. On pose l'addition $u_m+u_n$, on l'effectue et on divise par $2$, selon l'enseignement de l'école primaire de l'époque où l'on y apprenait des trucs du genre : français, calcul, histoire-géographie, etc.

Le maître était « l'instituteur » et l'on ne prétendait pas y étudier des « mathématiques ».

Cidrolin

 Trois millions trois cent soixante-six mille six cent soixante-sept fois oui Chaurien.

bisam

Il manque la vérification du fait que $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2$ s'écrit avec des chiffres en ordre croissant.

Chaurien

Ah oui, je ne l'avais pas lu... Pour le carré le bagage d'école primaire ne suffit pas...

jandri

Si $n=m$ alors $u_n^2=4\dots48\dots89$.
Si $m<n<2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots34\dots46\dots68\dots89$.
Si $n=2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots36\dots68\dots89$.
Si $n>2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots35\dots56\dots68\dots89$.

Cidrolin

Bravo jandri ! Voici ma démonstration.

1) La somme des chiffres de $3\times \dfrac{u_n+u_m}{2}$ est toujours $3$.

2) La somme des chiffres de $9\times \left (\dfrac{u_n+u_m}{2}\right ) ^2$est donc toujours $9$.

3) Quand la somme des chiffres d'un nombre $d$ non multiple de $10$ est $9$, on sait que les chiffres de $d/9$ sont en ordre croissant.

4) Fin.

Cidrolin

Pour le point 3) voir https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/534759/mystere-du-chiffre-neuf/p1

Amtagpa en donne une démonstration.

bisam

Notons $R_n=\frac{10^n-1}{9}=\underbrace{1\dots 1}_{n}$.

On trouve donc que pour tout entier $n$, $u_n=\frac{2\times 10^{n+1}+1}{3}=6R_{n+1}+1$ et par conséquent lorsque $n\geq m$, \[a_{n,m}=\frac{u_n+u_m}{2}=\frac{10^{n+1}+10^{m+1}+1}{3}=3R_{n+1}+3R_{m+1}+1=\underbrace{3\dots 3}_{n-m}\underbrace{6\dots 6}_{m }7\]

Ensuite \[\begin{align}a_{n,m}^2&=\left(\frac{10^{n+1}+10^{m+1}+1}{3}\right)^2\\ &=\frac{10^{2n+2}+2\times 10{n+m+2}+ 10^{2m+2}+2\times 10^{n+1}+ 2\times 10^{m+1}+1}{9}\\ &=R_{2n+2}+2R_{n+m+2}+R_{2m+2}+2R_{n+1}+2R_{m+1}+1\end{align}\]

Pour voir que l'on obtient dans tous les cas des chiffes en nombre croissant, il faut considérer plusieurs cas :

• si $n=m$ alors \[a_{n,n}^2=\underbrace{4\dots 4}_{n+1}\underbrace{8\dots 8}_{n}9\]
• si $m<n\leq 2m$ alors \[a_{n,m}^2=\underbrace{1\dots 1}_{n-m}\underbrace{3\dots 3}_{n-m}\underbrace{4\dots 4}_{2m-n+1}\underbrace{6\dots 6}_{n-m}\underbrace{8\dots 8}_{m}9\]
• si $n=2m+1$ alors \[a_{2m+1,m}^2=\underbrace{1\dots 1}_{m+1}\underbrace{3\dots 3}_{m+1}\underbrace{6\dots 6}_{m+1}\underbrace{8\dots 8}_{m}9\]
• si $n>2m+1$ alors \[a_{n,m}^2=\underbrace{1\dots 1}_{n-m}\underbrace{3\dots 3}_{m+1}\underbrace{5\dots 5}_{n-2m-1}\underbrace{6\dots 6}_{m+1}\underbrace{8\dots 8}_{m}9\]

Dans tous les cas, on constate que $a_{n,m}\in A$.

Cidrolin

Bravo bisam !

J'avais utilisé ce résultat (somme des chiffres=9) dans : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1911088#Comment_1911088 : nombres sans zéro.

Cidrolin

La suite https://oeis.org/A234841 donne la liste des éléments de $A$.

L'oeis ne précise pas que dans $A$ il y a deux types de nombres

$\bullet$  $11$ nombres isolés : $1,2,3,6,12,13,15,16,38,116,117$

$\bullet$ $4$ familles de nombres : $16_n7,\quad 3_n4,\quad 3_n5,\quad 3_n6_m7$.

L'indice $n\geq 0$ est mis pour $n$ répétitions du chiffre.