Pi exprimé par la fraction continuée

Pedja

Bonjour!

Quelqu’un peut-il prouver l’identité suivante ?$$\pi=4-\cfrac{2}{1+ \cfrac{1}{1- \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{ 1-\cfrac{2 }{ 1+\cfrac{3}{ 1-\cfrac{3 }{\cdots}}}}}}}$$

Chaurien

Quand on étudiait les fractions continuées dans le cursus de base, au début du XXe siècle, on voyait des formules permettant de transformer une série numérique en fraction continuée. Un exemple : Charles de Comberousse, Cours de mathématiques, Tome troisième, Algèbre supérieure, Première partie, Gauthier-Villars 1929, p. 365, mais vous pouvez en trouver bien d'autres. Pour l'instant, je n'ai pas trouvé la transformation qui donnera le résultat demandé.

Pedja

Je n’ai pas pu trouver une série infinie équivalente non plus.

GaBuZoMeu

Bonjour

Et en posant $u_1=\dfrac2{4-\pi}$ et $u_{n+1}= \dfrac{n(u_n-1)}{u_n-1-n}$ ?

L'expression n'est pas une fraction continue.

Chaurien

C'est une fraction continuée généralisée de deux façons, d'abord par les signes $+$ et $-$, et ensuite par les numérateurs qui ne sont pas égaux à $1$.

GaBuZoMeu

Bricolage : le $u_n$ défini ci-dessus ressemble de plus en plus à $2n-1/2$. Bricolons dans l'autre sens avec Sagemath :

def part(n) :
    v=2*n-1/2
    for i in range(n-1,0,-1) :
        v=1+i/(1-i/v)
    return 4-2/v

Voici la liste des part(n) pour n de 1 à 20 :

[8/3,
 19/6,
 160/51,
 22/7,
 512/163,
 864/275,
 26624/8475,
 57728/18375,
 2228224/709275,
 1974272/628425,
 524288/166887,
 11567104/3681909,
 209715200/66754611,
 764936192/243486243,
 973078528/309741003,
 1344274432/427895325,
 8589934592/2734263675,
 438623535104/139618103625,
 1271310319616/404670884475,
 384399572992/122358125175]

 et celle de leurs approximations décimales :

[2.66666666666667,
 3.16666666666667,
 3.13725490196078,
 3.14285714285714,
 3.14110429447853,
 3.14181818181818,
 3.14147492625369,
 3.14165986394558,
 3.14155158436432,
 3.14161912718304,
 3.14157483806408,
 3.14160507497605,
 3.14158373269526,
 3.14159922373931,
 3.14158770900603,
 3.14159644534560,
 3.14158969763587,
 3.14159499173616,
 3.14159078003681,
 3.14159417237083]

et puis une approximation décimale de part(10000) : 3.1415926535897933

Fin de partie

On a envie de transformer cette fraction continue en divisant par $4$ à gauche et à droite. Ce qui fait qu'on se retrouve avec $\dfrac{\pi}{4}=\arctan(1)$ dans le membre de gauche . $\arctan(1)$ a une écriture comme valeur d'une fonction hypergéométrique. Ces fonctions vérifient  des identités qui permettent de fabriquer des développements en fractions continues.

Pedja

Séquence des convergents :
$$4,2,3,4,\frac{16}{5},\frac{8}{3},\frac{28}{9},\frac{32}{9},\ldots$$
Formule fermée de la séquence : 
$$c_k=2\displaystyle\prod_{i=1}^{\left\lfloor \frac{k}{4} \right\rfloor}\frac{(2i)^2}{(2i-1)(2i+1)}\cdot \frac{4\left\lfloor \frac{k}{4} \right\rfloor +\left\lceil \left|\frac{3}{2}- k \bmod 4 \right| \right\rceil +2 \left\lfloor \frac{k \bmod 4}{2} \right\rfloor}{4\left\lfloor \frac{k}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k \bmod 4}{2} \right\rfloor+1}$$
En utilisant le produit de Wallis, nous pouvons montrer que: $\displaystyle\lim_{k \to \infty}c_k=\pi \cdot 1 =\pi$ .
Cependant, je ne sais pas comment prouver la formule fermée.

JLT

Soit $f_n(x)=1+\frac{n}{1-\frac{n}{x}}=\frac{(1+\frac{1}{n})x-1}{\frac{1}{n}x-1}$. On veut montrer que $f_1\circ\cdots\circ f_n(1)\to \frac{2}{4-\pi}$.

Soit $A_n=\begin{pmatrix} 1+\frac{1}{n} & -1 \\ \frac{1}{n} & -1\end{pmatrix}$. Soit $X_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$, et posons $X_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n\end{pmatrix}=A_1\cdots A_n X_0$. On veut montrer que $\frac{u_n}{v_n}\to \frac{2}{4-\pi}$.

On a $X_n=A_1\dots A_{n-1} \begin{pmatrix} \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n}-1\end{pmatrix}=\frac{1}{n}X_{n-1}+A_1\dots A_{n-2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}=\frac{1}{n}X_{n-1}+ X_{n-2}$. Par conséquent,

$$u_n=\frac{1}{n}u_{n-1} +u_{n-2}\quad(\ast).$$

De même $v_n$ vérifie la relation de récurrence $(\ast)$. On montre par récurrence que $u_{2n}=u_{2n+1}=\dfrac{1\times 3\times\cdots (2n+1)}{2\times 4\times\cdots (2n)}$. De même, la suite $w_n=2u_n-v_n$ vérifie $w_{2n}=w_{2n-1}=\dfrac{2\times 4\times\cdots (2n)}{1\times 3\times\cdots (2n-1)}$.

D'après la formule de Stirling, on a $u_n\sim\sqrt{\frac{2n}{\pi}}$ et $w_n\sim \sqrt{\frac{n\pi}{2}}$. De là on déduit $\frac{u_n}{v_n}=\frac{u_n}{2u_n-w_n}\to \frac{2}{4-\pi}$.

Pedja

@JLT Merci.

etanche

$u_{n}=\frac{1}{n}u_{n-1} + u_{n-2}$ 
Si on pose $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} u_nx^n$ 
Peut-on trouver une équation différentielle vérifiée par $f$? 

Pedja

Algorithme pour le calcul de pi basé sur la généralisation de cette fraction continue.