Suite paramétrée

Boécien

Soit la famille de suites paramétrée par un réel $\lambda>0$ définie par $u_{\lambda}(1)=1$ et pour $n\geq1$ par $$u_{\lambda}(n+1)=n-\left|n-\lambda u_{\lambda}(n)\right|. $$Le but est de confirmer mon intuition à savoir : montrer que pour $\lambda>2$ il existe un rang $n_{\lambda}$ tel que pour tout $n\geq n_{\lambda}$ on a $u_{\lambda}(n+1)=\lambda u_{\lambda}(n)$ ou, ce qui revient au même, que la suite est négative à partir d'un moment.
Par exemple j'obtiens
$n_{2+\frac{1}{1}}=4$
$n_{2+\frac{1}{2}}=14$
$n_{2+\frac{1}{3}}=13$
$n_{2+\frac{1}{4}}=17$
...
$n_{2+\frac{1}{8}}=50$