L'usage des parenthèses

Suite à cette discussion je me demandais comment les parenthèses doivent être utilisées dans le cadre de l'enseignement. La réponse dépend-elle du niveau auquel on enseigne ? Par exemple :
1) Doit-on écrire $\sin x$ ou $\sin(x)$ ? Lorsque $f$ est une fonction, sa valeur en $x$ est généralement notée $f(x)$ et non $fx$. Quelle proportion d'élèves/étudiants croient que $\sin x$ signifie $(\sin(x))\times x$ ?
2) Doit-on écrire $\sin x^2$ ou $\sin(x^2)$ ? Les élèves/étudiants confondent-ils avec $(\sin x)^2$ ?
3) Est-il clair pour les élèves que $\sin\ln x$ signifie $\sin(\ln(x))$ ? Après tout, si $f$ et $g$ sont deux fonctions, on désigne généralement par $fg$ la fonction $x\mapsto f(x)g(x)$, donc $\sin\ln x$ pourrait très bien signifier $(\sin x)(\ln x)$.
4) Soit $f:\R^2\to\R$ une application linéaire. Soient $u=(x_1,y_1)$ et $v=(x_2,y_2)$. On a $u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ donc l'égalité $f(u+v)=f(u)+f(v)$ devient, en remplaçant $u$ et $v$ par leurs expressions respectives, $f((x_1+x_2,y_1+y_2)) = f((x_1,y_1))+ f((x_2,y_2))$. De même, $f(2(x_1,y_1)) = 2f((x_1,y_1))$. Y a-t-il un excès de parenthèses ?
5) Même question si on écrit $u$ et $v$ comme des vecteurs colonnes : $u=\binom{x_1}{y_1}$, $v=\binom{x_2}{y_2}$, $u+v=\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}$. Ne devrait-on pas écrire $f(\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2})=f(\binom{x_1}{y_1})+f(\binom{x_2}{y_2})$ et $f(2\binom{x_1}{y_1})=2f(\binom{x_1}{y_1})$ ?
6) L'expression $e^{x^2}$ engendre-t-elle des confusions ? Pour éviter les confusions, doit-on écrire $e^{(x^2)}$ ?









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Réponses

  • Tu poses la question pour une écriture au tableau ? Pour l'écriture d'un poly ? D'un énoncé ?
    A mon avis, les réponses sont différentes pour chacun des cas, en tenant compte de la familiarité des élèves avec les objets manipulés pour 4) et 5).
  • Je pose la question surtout pour l'écriture d'un énoncé de DS ou examen, pour éviter des erreurs d'interprétation d'énoncé. Mais je ne vois pas en quoi la réponse diffère par rapport à ce qu'on écrit sur le tableau ou dans un poly. Un élève ou étudiant s'habitue aux notations pendant le cours, et ces notations doivent être reprises dans les contrôles de connaissances.
  • zeitnot
    Modifié (June 2022)
    Pour moi, il faut mettre des parenthèses, obligatoirement dès qu'il peut y avoir un doute dans la tête du lecteur.
    $\sin  x$ me va bien car il n'y a pas de doute.
    Par conter $\sin  x+1$ peut poser problème, est-ce $\sin (x+1)$ ou $\sin(x)+1$.

    Même quand cela semble évident, il faut éviter toute ambiguïté.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Rien n'est officiel mais j'en mets le plus possible ou alors je signale avant les conventions d'abréviations. Je trouve qu'il est exagéré de dire que cela demande un effort trop important.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • nicolas.patrois
    Modifié (June 2022)
    Pour $\sin \ln x$, on pourrait (avec un peu de mauvaise foi) confondre avec $(\sin × \ln) (x)$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Thierry Poma
    Modifié (June 2022)
    L'objectif étant d'éliminer toute ambiguïté chez l'apprenant, je préfère procéder de la sorte.
    1) Ecrire $\sin(x)$. C'est ainsi que l'on pourra écrire également $\sin\left(x+y+e^z\right)$, sans souci. Cela n’empêche pas de préciser que l'on trouve souvent l'expression $\sin\,x$.
    2) Tu l'auras compris, écrire $\sin\left(x^2\right)$.
    3) C'est pareil ! Ecrire $\sin(\ln(x))$. Au besoin, tu pourras même écrire $\sin(x\,\ln\left(x^3\right))$.
    4) Ecrire $f(x_1+x_2,y_1+y_2) = f(x_1,y_1)+ f(x_2,y_2)$. En revanche, écrire $f(2(x_1,y_1)) = 2f(x_1,y_1)$.
    5) Idem qu'en 4).
    6) Ecrire $\exp\left(x^2\right)$. Ainsi pourras-tu compliquer le tout en écrivant par exemple $\exp\left(x^2+\dfrac{\pi}{x^2+x+1}-\sin\left(e^x\right)\right)$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonjour
    J'ai pris l'habitude, enseignant en IUT de mettre les parenthèses des fonctions (sin(x), ln(x), ..) pour qu'il n'y ait pas d'incompréhension, mes étudiants venant de S, STI, divers bacs pro, voire reprenant après 15 ans de travail en entreprise. Je ne faisais pas cela en lycée, en C puis S, et même rarement en STI. En collège, il n'y avait que des notations comme sin 30° qui ne posent pas problème.
    Historiquement, la notation sans parenthèse vient du fait que les sin et cos n'étaient pas conçus comme des fonctions (la notion de fonction ne s'est vraiment constituée qu'au dix-huitième siècle).
    Cordialement.
  • Magnéthorax
    Modifié (June 2022)
    @JLT : il y a la notation standard $f\left(x\right)$ et, pour certaines $f$ classiques, il y a la notation $\mathrm{f}x$ (cette fois, c'est $\mathrm{f}$ et pas $f$). Si tu veux connaître les usages les plus répandus pour des élèves qui sortent du lycée, tu peux jeter un coup d'oeil aux programmes. Dans le supérieur, je pense qu'il est avantageux de les habituer progressivement (et pas de le découvrir le jour d'une évaluation) à ces conventions.
  • bisam
    Modifié (June 2022)
    Quand les abus sont manifestes, on aboutit à des situations où la compréhension devient exécrable !
    Pour preuve, je suggère de regarder l'énoncé du sujet de concours ENS PSI de l'an dernier que je joins et commente.
    1. La question 2 utilise à plusieurs reprises une notation inhabituelle pour l'intégrale, en plaçant l'élément différentielle AVANT la fin de l'intégrale, ce qui suggère que la parenthèse qui suit ne fait pas partie de l'intégrale.
    2. À la question 3, on définit la fonction "produit de convolution de $f$ et $g$, notée $f*g$, mais sans parler de la fonction et sans mettre de quantificateur sur $x$.
    3. À la question 4, on définit la transformée de Laplace d'une fonction $f$, notée $\mathcal{L}(f)$ mais encore une fois sans dire que $\mathcal{L}(f)$ est une fonction, et sans quantificateur sur $s$.
    4. Un peu plus loin, à la question 5, on parle de la fonction $\mathcal{L}$ sans l'avoir définie.
    5. La question 6 définit (mal, puisque toujours sans quantificateur sur $x$) les itérées de la fonction $I$, en adoptant la notation $I^n(f)$... mais dans cette même question, la notation n'est pas respectée puisque l'on note aussi $I^2f(x)$ à la ligne suivante.
    6. À la question 8, on continue avec les incohérences, en définissant (mal) $J^{\alpha}(f)$... et 5 lignes plus loin, on note $J^{\alpha}f$ puis $J^{\alpha}\Phi_{\gamma}$. C'est d'autant plus malvenu qu'il faut ici distinguer l'application d'une fonction à une autre, la composée de deux fonctions, le produit de convolutions de deux fonctions et le produit de fonctions....
    7. Avant la question 10, c'est le pompon ! La définition récursive de $D^n(f)$ n'est pas cohérente dans sa propre définition puisqu'elle fait intervenir $D^{n-1}f$ qui n'est pas défini.
    8. La question 10 va encore plus loin en ne prenant même plus la peine d'essayer de cacher quoi que ce soit : on applique carrément $D^m$ à un objet qui n'est pas une fonction.
    9. Dans cette même question, on doit expliciter $D^{\alpha}\mathbb{1}$... alors que la fonction $\mathbb{1}$ n'est définie nulle part dans l'énoncé !!!
    J'arrête les frais, mais il y a encore une bonne dizaine d'incohérences de notation et de problèmes d'énoncé dans ce sujet.
    Pour conclure, je préfère très largement un excès de parenthésage, qui aboutit à une situation sans ambiguïté, plutôt qu'un laxisme conduisant à une incompréhension totale pour la plupart des lecteurs concernés.
  • Foys
    Modifié (June 2022)
    Pour $\sin \ln x$, on pourrait (avec un peu de mauvaise foi) confondre avec $(\sin × \ln) (x)$.
    Il est bien connu que $\frac {sin x} n = \frac {six} 1 = 6$.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    Modifié (June 2022)
    JLT a dit :
    Un élève ou étudiant s'habitue aux notations pendant le cours, et ces notations doivent être reprises dans les contrôles de connaissances.
    Sur 4) et 5), ça ne me choque pas qu'un prof familiarise ses élèves à la structure d'ev  de $\R^2$ (ou $\R^n$...) en notant $\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}$ les vecteurs et en leur conseillant d'utiliser cette notation et aussi qu'un énoncé écrit (par le même prof ou pas d'ailleurs) comporte la notation $(a,b)$ ou $f(a,b)$.

    Et sinon, en face d'un énoncé sur les polynômes qui poserait $Q=P(X+1)$, vous comprenez quoi ? :)
  • Composition. Pour le produit, j'écris $\left(X+1\right)P$.
  • JLT
    JLT
    Modifié (June 2022)
    Je pense que poser $Q=P(X+1)$ est tout à fait correct. Soit $P\in K[X]$. Si $A$ est une $K$-algèbre, et $a\in A$, on désigne par $P(a)$ l'évaluation de $P$ en $a$. En particulier pour $A=K[X]$ et $a=X$, on a $P(X)=P$. Cependant lorsqu'on définit un polynôme, on écrit plutôt "soit $P=\cdots$" et non "soit $P(X)=\cdots$" car écrire $P(X)$ suppose déjà que $P$ ait été défini auparavant.
    Edit : ah, j'avais oublié qu'on peut confondre avec le produit. Pour le produit j'écrirais $(X+1)P$, ou à la rigueur $P(X)\times (X+1)$ mais cette dernière écriture est gênante à cause de la confusion possible entre $\times$ et $X$.
    À part ça, écrivez-vous $(\sum_{k=1}^n (k^2+k+1))(\sum_{\ell=1}^n(\ell^4+1))$ ou pensez-vous qu'il y a trop de parenthèses ?
  • @bisam : certains concepteurs n'ont visiblement pas la volonté de se mettre à la hauteur de vue des étudiants "qui comprendront bien par eux-mêmes ce qu'on a voulu dire", voire qui n'ont pas conscience de commettre des abus, voire qui n'ont pas conscience de commettre des erreurs. Plus grave, la relecture des sujets ne semble pas corriger efficacement cet état de fait. Ici même et dans un ouvrage publié, il n'y a pas si longtemps, un prof de Ginette avait déjà poussé sa gueulante à propos d'un sujet de l'X.
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Pour moi, le message initial est bourré de fautes d'écriture. Partout où il manque les parenthèses.
    Rappel : seule la multiplication est un opérateur sous-entendu. L'application d'une fonction s'incarne par les parenthèses.
    Il y a effectivement ambiguïté entre le regroupement d'opérations et l'application de fonction. Que proposes-tu comme solution ?
  • Un extrait de  « Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ; précédées des Règles générales du calcul des probabilités » par S.D. Poisson édition de 1837
  • Magnéthorax
    Modifié (June 2022)
    @PLM : dans le supérieur, quand on écrit $\ln x$ pour $\ln\left(x\right)$, je pense qu'on est dans l'acceptable (on est pas en train de coder). Quand on écrit $\sin 2x$ pour $\sin\left(2x\right)$, on prend déjà plus de risque.
  • Il y a un risque de confusion entre $\sin 2x$ et $\sin^2 x$ lorsqu'on écrit au tableau. On ne voit pas toujours bien la différence entre les petits chiffres et les grands chiffres.
  • zeitnot
    Modifié (June 2022)
    Est-il légitime de penser que $\sin^2=\sin \circ \sin$  ?
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Pour moi, sans élément de contexte, c'est non.
  • Les notations ça s'enseigne. Si le discours est clair et explicité avec des exemples, je pense que tout peut être accepté.
    Mais en l'absence de discours on se retrouve avec des trucs du style $f(x+y)=fx+fy.$ Il faut expliquer quand les règles du jeu ont changé. 
  • Le problème est que les élèves/étudiants écrivent généralement trop peu de parenthèses, même lorsque les règles ont été explicitées. Par exemple $(x+1)-(x+2)$ qui devient $x+1 - x+2$, ou $(x+1)(x+2)$ qui devient $x+1\; x+2$, voire $(x+1)^2$ qui devient ${x+1}^2$. Et ce n'est pas faute d'avoir expliqué les règles.
  • Ou $\dfrac{1+x}{2+x}$ sur un énoncé original, qui devient 1+x/2+x sur un forum  : Mais, je vous assure, dans l'original, il n'y a pas de parenthèses ; j'ai recopié correctement.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Je poste le vade-mecum du poseur de sujet, que j’ai probablement chopé dans le coin.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2022)
    Pour $\sin \circ \sin$ j’ai déjà vu $\sin^{(2)}$. 

    Pour les dérivées aussi on voit ces parenthèses « implicites ». 
  • Pour la composée n-ième j'emploie $f^{\circ n}$.
  • Barjovrille
    Modifié (June 2022)
    A mon avis c'est mieux d'avoir plus de parenthèses que pas assez 
    Il y a aussi  l'expérience des élèves à prendre en compte
    pour $e^{x^2}$ je pense qu'il faut mettre des parenthèse surtout au lycée et début du supérieur avant de faire des proba continue on n'a jamais ou très peu rencontré cette notation donc il y a de grande chance de confondre avec $(e^x)^2$ qu'on a manipulé beaucoup plus souvent. 
    ce qui est dommage avec la notation $\exp(x)$ au lieu de $e^x$ même si ça enlève les ambiguïtés c'est qu' avec la première notation on a moins le réflexe de penser à $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ alors qu'avec l'autre notation c'est directement comme les  puissances.
    pour $\big(\sum_{k=1}^n (k^2 + k + 1)\big)\big(\sum_{l=1}^n (l^4 +1)\big)$ on peut enlever les parenthèses extérieures (et on enlève pas plus à cause du 1) mais quand on vient de commencer les sommes c'est peut être mieux de garder toutes les parenthèses.

    Sinon en tant qu'élève on m'a déjà fait la remarque de mettre des parenthèses sur les expressions du type $(2m)!$ au lieu de $2m!$ pour éviter de confondre avec $2 \times m!$.
  • gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonsoir Barjovrille.
    Pour ton produit de sommes, c'est la distributivité qui permet d'enlever les parenthèses, les deux interprétations donnant le même résultat.
    Et $2m!$ est bien le double de $m!$, pas de confusion possible (! est un symbole de fonction post-posé).
    Cordialement.
  • Ça m’évoque le fameux « 6/3(2+1) » qui provoque des échanges sulfureux. 
  • Amathoué
    Modifié (June 2022)
    @JLT, on n’a qu’à faire comme les géomètres, qui abusent des notations lorsqu’il n’y a pas de confusion. Combien de fois ai-je lu « la droite $AB$ », $I=\frac{1}{2}(A+B)$…parce que le contexte indiquait « clairement de quoi l’on parle ». Pour moi, une bonne pédagogie consiste aussi à préciser aux étudiants qu’il y a dans telle ou telle situation un abus, qu’on s’autorise pour telle ou telle raison. L’abus non justifié doit être réservé à l’œil expert. 
    Je ne pense pas qu’on puisse être rigoureux au point qu’on doive tout écrire de manière formelle, désolé @Foys, car sinon on devrait justement revenir à chaque fois à un langage de bas niveau. 
    On n’a pas besoin de faire de l’assembleur pour enseigner python !
  • Magnéthorax
    Modifié (June 2022)
    @JLT : exception : la $n$ème itération d'un endomorphisme est en général notée $f^n$.
  • En algèbre linéaire : $\ker(P(Q(u)))$, $P(Q(u))(x)$...
    Si on ne met pas les bonnes parenthèses, on peut arriver à écrire des trucs du genre $P(u(x))$ qui n'ont pas de sens.
  • Raison pour laquelle les parenthèses ne servent à rien, non ?
  • Héhéhé
    Modifié (June 2022)
    Faire des mathématiques, c'est lever les ambiguïtés.

    Le problème des gens qui écrivent $\sin x\ln x$ qui peut s'interpréter $\sin(x \ln(x))$ ou $\sin(x)\ln(x)$, c'est qu'ils ne précisent jamais les règles qu'ils emploient, c'est ultra implicite donc à éviter.

    Je ne note jamais $\sin^2(x)$ mais $\sin(x)^2$, car $f^n$ signifie dans la plupart des mathématiques en dehors de l'analyse niveau licence $f \circ f \circ \cdots \circ f$ ($n$ fois).

    La seule situation où je permets d'enlever les parenthèses est une fonction suivie d'une seule "quantité" : $\dim E$, $\sin \pi$, $\ln \sqrt{2}$ avec rien derrière. Dès qu'il y en a plus, je mets des parenthèses : $\sin(2x)$, $\dim(E+F)$, etc.
  • Dans le contexte des séries de Fourier, par exemple, qui lirait $\cos(k)\times x$ en voyant $\cos kx$ ?
    Même question pour $\sin 2x= 2\cos x\sin x$ ou $\cos^2 x+\sin^2x=1$ ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2022)
    Je pense aussi que les exemples donnés par Math Coss ne sont pas équivoques. 
    Par contre, c’est certainement lié à l’expérience. 
    Et comme on voit ces choses là à partir d’un certain niveau, ce n’est pas grave.
    Autre remarque :  un ordinateur aurait du mal à interpréter ces réels, me dis-je. Je n’y connais rien. J’imagine seulement que pour bien écrire des maths dans xCas par exemple, on doit saisir proprement les expressions. 
  • Math Coss
    Modifié (June 2022)
    Je ne m'adresse pas sur le même ton ni avec le même nombre de parenthèses à un ordinateur, une collégienne, une étudiante, LaTeX, une collègue...
  • Math Coss a dit :
    Dans le contexte des séries de Fourier, par exemple, qui lirait $\cos(k)\times x$ en voyant $\cos kx$ ?
    Même question pour $\sin 2x= 2\cos x\sin x$ ou $\cos^2 x+\sin^2x=1$ ?
    Quelqu'un qui voit ça pour la première fois, typiquement un étudiant. Je ne comprends pas ce refus de lever des ambiguités ou de préciser les conventions alors qu'on fait des mathématiques.
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2022)
    Je suis parfaitement d’accord Math Coss. 
    Et aussi en accord avec toi, Héhéhé :  on rappelle au début les notations, on les explicite selon le public. 
    Vos deux messages ne sont pas incompatibles, selon moi. 
    Remarque accessoire : ça donne « +1 » à l’utilisation des calculatrices ou logiciels ou autres moteurs de recherche qui « calculent ».
    Les questions de syntaxes permettent une meilleure interprétation des objets mathématiques. 
  • Juste une petite remarque sur le parenthésage au collège: les fonctions ne sont introduites qu'en troisième et dans les classes précédentes on écrit par exemple $A= 3x-7$. Je trouve plus sain et pas plus compliqué de leur faire écrire $A(x)=3x-7$ le plus tôt possible (5e ou 4e).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2022)
    Complètement d’accord. 
    Une notation, ça s’apprivoise. Donc commencer très tôt peut être pertinent. 
    L’élève demande « ch’comprends pas c’est quoi !!! » et le prof répond, explique. On gagne un temps considérable pour la suite.
  • Math Coss
    Modifié (June 2022)
    Je n'ai jamais prôné de ne pas expliciter les conventions, au contraire, même si les exemples ci-dessus devraient être déchiffrables de façon autonome par une lycéenne et ne devraient pas poser de problème de lecture à une étudiante post-bac.
    De plus il y a des contextes et des habitudes qui en proviennnent. La lettre $d$ ne m'évoque pas la même chose quand je fais du calcul diférentiel ou de l'arithmétique (c'est alors un diviseur, sans doute). Idem pour la puissance d'une fonction : la formule $(f^n)'=nf'f^{n-1}$ me semble suffisamment parenthésée et "on voit" bien que ce n'est pas de la $n$-ième itérée qu'on parle.
  • Math Coss
    Modifié (June 2022)
    Pour reprendre une idée d'un collègue, un raccourci ou un abus de notation a (devrait avoir) la vertu de faire s'interroger la lectrice sur ce dont on  parle. De telles pratiques sont indispensables en géométrie différentielle par exemple (et courantes ailleurs, par ex. "Soit $G$ un groupe agissant sur un ensemble $X$" ou "Soit $V$ une représentation...", on omet presque toute la structure de la notation).
    PS : même genre, plus banal : "soit $V$ un ev", "soit $G$ un groupe"...
  • Oui, il ne faut pas occulter le fait que chaque branche des mathématiques utilise ses notations parfois à la limite de l'ésotérisme.
  • C'est une autre façon de dire les choses...
  • Chaurien
    Modifié (June 2022)
    Relisez les livres de mathématiques. Depuis plus d'un siècle, on écrit des formules comme : $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b$,  $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, $\ln(ab)=\ln a+ \ln b$.  Par contre $\ln^2 x$ n'est pas habituel, on lui préfère $(\ln x)^2$. C'est une question d'usage. Pour ma part, je ne vois pas pourquoi changer. Les élèves attentifs, studieux et de niveau convenable ne s'y trompent pas. Les autres, ma foi, qu'ils fassent autre chose.
    Je n'y avais pas réfléchi, mais l'inflation des parenthèses que nous constatons, et que je déplore, est peut-être à mettre en relation avec la baisse du niveau, que tous les gens lucides et honnêtes s'accordent à constater. Vous avez vu que certains pensent qu'on peut avoir le baccalauréat en ignorant le sens du mot « ludique »...
  • Quelle proportion d'une classe de terminale pourrait faire la faute suivante ?
    $(\sin 2x)'=\cos 2x +\sin 2$ car on a posé $u=\sin$, $v=2x$ et on sait que $(uv)'=u'v+uv'$.
  • JLapin
    Modifié (June 2022)
    Probablement  $0$ %. L'erreur la plus fréquente sera $\cos 2x$ je suppose.
  • Chaurien
    Modifié (June 2022)
    [*** Hors sujet. AD]
  • Je crois qu'il suffit de développer le bon sens chez les élèves et prendre la peine de laisser le parenthésage quand ils sont encore fébriles sur de nouvelles notions.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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