$\R^2$ vs $\R \times \R$

Snobi

Bonjour, y a-t-il une différence entre $\R^2$ et $\R \times \R$ ?
$\R \times \R$ c'est le produit cartésien. C'est clair mais pour $\R^2$ :
(dans wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_cartésien)

$\R^2 =  \R \times \R$  ici c'est un produit cartésien.
vs
(dans un livre de math)

$\R^2 = \R^{\{1,2\}}$  ici c'est l'ensemble des application de $\{1, 2\}$ dans $\R$..
En fin de compte quelle est la meilleure notation pour savoir le nombre de variables d'une fonction de $\R^4$ dans $\R$ ?
Personnellement je vais écrire :
$ \R^4 \longrightarrow \R$ quand il s'agit d'une fonction d'une seule variable.
$ \R^2 \times \R^2 \longrightarrow \R$ quand il s'agit d'une fonction de deux variables.
(mais parfois on écrit  $\R^2 \times \R^2 = \R^4$ ...? )
(dans https://www.maths-france.fr/MathSpe/Cours/18-fonctions-plusieurs-variables.pdf  page 2)


Merci.

GaBuZoMeu

Bonjour

Évite de te faire des noeuds comme ça. Une fonction de $\R^4$ dans $\R$ est toujours une fonction de 4 variables réelles.

Le distinguo entre $f(x_1,\ldots,x_n)$ et $f((x_1,\ldots,x_n))$, bof bof ...

bisam

Disons que le distinguo peut avoir un intérêt... en informatique. Si tu donnes 4 arguments à une fonction informatique qui n'en prend qu'un, elle va râler.

Héhéhé

On identifie souvent $E^p \times E^q$ avec $E^{p+q}$ via la bijection $\big((e_1,\ldots,e_p),(e'_1,\ldots,e'_q)\big) \mapsto (e_1,\ldots,e_p,e'_1,\ldots,e'_q)$.

Cela dit, on ne fait pas toujours cette identification, notamment quand les variables ont "des rôles différents". C'est par exemple le cas avec les équations différentielles
$$y'(t) = f(t,y(t))$$
avec $f : \mathbb R \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n$, on a une variable "temporelle" $t \in \mathbb R$ et une variable "spatiale" $x \in \mathbb R^n$ qui jouent des rôles différents dans la dynamique, donc on ne fait pas l'identification $\mathbb R \times \mathbb R^n \simeq \mathbb R^{n+1}$ pour bien les distinguer.

Sinon oui en toute rigueur il faudrait noter $f((x,y))$ au lieu de $f(x,y)$, ce que personne ne fait car ça n'apporte rien.

Snobi

Merci pour l'éclaircissement.

Quand on parle d'indentification cela nous permet de faire quoi?

Toujours je lis de ca mais aucune source ne l'explique vraiment.

Identification entre:

$\R^2$ et $\C$

$M_{n,p}(K)$ et $K^{n \times p}$

l'injection canonique de $\R$ dans $\R_n[X]$ ($\R \subset \R_n[X]$ une inclusion entre deux ensembles différents)

Médiat_Suprème

Quand on parle d'isomorphisme entre 2 structures, c'est toujours par rapport à un langage, et il n'existe pas d'ensembles de formules dans ce langage, permettant de distinguer ces deux structures.

Héhéhé

Si tu as un vecteur $x=(x_1,x_2)$ dans $\mathbb R^2$ et un vecteur $y=(y_1,y_2,y_3)$ dans $\mathbb R^3$, tu as envie de dire que $(x,y)$ est un vecteur de $\mathbb R^5$, alors qu'en toute rigueur c'est un vecteur de $\mathbb R^2 \times \mathbb R^3$. On a identifié
$$\big((x_1,x_2),(y_1,y_2,y_3)\big)$$
avec
$$(x_1,x_2,y_1,y_2,y_3)$$

Snobi

Donc je comprend un cours dans la théorie des catégories est essentiel !
Cette identification (isomorphisme : bijection qui préserve la structure) nous permet de remplacer les notations ?

Snobi

Ok merci @Héhéhé.

Georges Abitbol

Ben, pense aussi aux entiers naturels et aux entiers relatifs. Est-ce que le premier est « vraiment inclus » dans le deuxième ? Est-ce que la question est pertinente dans la majorité des maths ?

Médiat_Suprème

Sans compter les 34 (je me restreins à celles que je connais) méthodes de construction des réels.

SkyMtn

On commet beaucoup d'abus de notations en maths. Par exemple, stricto sensu, on n'a pas $\mathbf N \subset \mathbf Z \subset \mathbf Q \subset \mathbf R \subset \mathbf C$ puisque chaque ensemble de nombres est usuellement construit à partir du précédent avec des quotients. Par contre, on peut identifier naturellement tous ces ensembles à des sous-ensembles de $\mathbf C$, et finalement c'est en ce sens qu'on considère l'inclusion. Mais en pratique on ne fait plus de distinction.

Tu retrouveras ces abus de notations si tu fais un peu de théorie des corps, où un corps $\mathbf K$ est plongé dans une extension $\mathbf E$. Moralement, on considère que $\mathbf K$ est un sous-ensemble de $\mathbf E$ (parce qu'en dessous, il y a une structure de $\mathbf K$-algèbre).

Ici, quand on a un ensemble $X$ non-vide, on identifie volontiers le produit cartésien $X \times X$ avec l'ensemble $X^{\{1,2\}}$ des applications de $\{1,2\}$ dans $X$. Cela parce qu'en définitive, chaque élément de ces ensembles est caractérisé par une paire $x_1,x_2$ d'éléments de $X$.

Et plus généralement, comme mentionné plus haut, on identifiera sans problème $X^p \times X^q$ avec $X^{p+q}$, en mettant « bout à bout » les coordonnées. Bien sûr il est important de garder dans un coin de sa tête qu'on fait ces identifications, de savoir pourquoi on les fait, et quelle structure on préserve en faisant ça. Mais il n'y a pas de honte à les utiliser sans le dire, au contraire !

Snobi

Merci pour vos réponses et éclaircissements !
@SkyMtn pour les abus de notations, je n'ai aucun problème à condition que la notation utilisée soit mentionnée dans le cours quelque part, ce qui n'était pas le cas toujours et ça ne va pas aider les débutants comme moi.