Ensembles ordonnés non isomorphes

Démonstrator

Je cherche deux ensembles finis partiellement ordonnés A et B tels qu'il existe une bijection de A dans B croissante et une bijection de B dans A croissante, mais qu'il n'existe pas de bijection de A dans B croissante et dont la réciproque est croissante. Quelqu'un a une idée ?

Calli

Bonjour,

Ça n'existe pas. Tu peux commencer par montrer que si $A$ est un ensemble ordonné fini et $f:A\to A$ une bijection croissante, alors $f^{-1}$ est croissante.

Maxtimax

Tu peux montrer que $\leq_A$ et $\leq_B$ ont la même taille, et conclure par le fait que : si $f: X\to Y$ est une injection entre ensembles finis de même cardinal, alors $f$ est une bijection.

Calli

Bonne idée @Maxtimax. C'est plus court que ce à quoi je pensais.

Démonstrator

@Maxtimax Merci pour les deux idées, mais je ne vois pas comment conclure en ayant montré ceci ?

Maxtimax

Soit $f : A\to B, g: B\to A$ toutes deux injectives. Alors $f$ induit une injection $\leq_A\to \leq_B$, et similairement pour $g$. Puisque les deux sont finis, $f$ induit une bijection $\leq_A \to \leq_B$. En particulier, $f$ est une bijection et si $(b_0,b_1)\in\leq_B$, i.e. si $b_0\leq_B b_1$, alors $(b_0,b_1) = f(a_0,a_1)$ pour un certain couple $(a_0,a_1)\in \leq_A$. Mais $f$ est une bijection, donc $a_0 = f^{-1}(b_0), a_1 = f^{-1}(b_1)$, et donc $f^{-1}$ est croissante.