L'axiome du choix

Médiat_Suprème

Le mieux pour vous serait de laisser tomber la logique, ou de changer d'attitude (par exemple ne pas être insultant) !

Lars

Il n'y a aucune insulte dans mes propos.

Je vous retournerais le compliment puisque vous me tendez la perche : vos messages (donc je m'adresse à médiat_supreme) nous prennent de haut et vous étalez votre culture et prenez pour des imbéciles les forumeurs qui en savent moins que vous dans ce domaine.

Médiat_Suprème

Que les logiciens ignorent les contradictions, alors que c'est une notion logique, vous ne trouvez pas cela insultant ?
Que les logiciens fassent exprès de perdre le lecteur , vous ne trouvez pas cela insultant ?

Pouvez-vous citer mes messages auxquels vous faites allusion ?

Il y a des majuscules à mon pseudo.(et un accent grave)

Lars

Je n'aime pas votre attitude et vais suivre votre conseil en quittant cette discussion et éviterai à l'avenir de mettre un pied au sous-forum logique.

Comme le sujet m'intéresse je suivrai avec intérêt la suite de cette discussion.

Par ailleurs je maintiens mes commentaires rappelés par media suprême (vous n'aurez cas corriger mentalement l'orthographe) dans son dernier message.

C'est la perception que j'ai.

Si j'écris "l'analyse est mal enseignée" ou bien "quasiment tous les livres d'exercices d'analyse sont mauvais" (je change de domaine pour ne pas froisser), il n'y a là aucune insulte envers les enseignants ou chercheurs de cette discipline. Par contre, j'ai le droit de penser ça et je ne vois pas pourquoi je dirais ou écrirais le contraire si je ne le pense pas. 

Pour la logique vous avez mon avis.

Foys

@Lars

On n'étale rien du tout, on écrit des réponses détaillées pour les lecteurs (pas seulement toi).

Ces notions sont techniques, quand on ne sait pas (ce qui n'est pas une honte) on se renseigne au lieu de dire que celui qui livre l'information est hautain.

Pour la logique intuitionniste, une bonne introduction est ce livre https://www.amazon.fr/Introduction-logique-démonstration-exercices-corrigés/dp/2100067966

raoul.S

@Foys il y a quelque chose qui m'échappe dans ta preuve ci-dessus. Tu laisses entendre qu'il faut AC pour pouvoir invoquer l'existence d'une fonction choix $\varphi: \mathcal P(\{0,1\}) \to \{0,1\}$ dans ZF sans tiers exclu.

Mais si je considère l'ensemble de couples $\{(\{0\},0), (\{1\},1), (\{0,1\}, 0)\}$ c'est bien une fonction choix sur $\{0,1\}$ qu'on peut construire dans ZF sans tiers exclu non ?

PS.. @GG c'est possible que ce soit toi oui. Merci.

Foys

@raoul.S comment fais-tu pour montrer que toutes les parties non vides de $\{0,1\}$ sont parmi les trois que tu as citées?

(NB: oui, ZF intuitionniste est plus bizarre qu'on peut s'imaginer à première vue )

Poirot

Lars a dit :

Dans le même livre était démontré : AC est un théorème pour les ensembles finis et ici on a affaire à deux ensembles de cardinal inconnu mais majoré par 2. Faut croire que les contradictions n'étouffent pas les logiciens. Il y a certainement une explication qu'on se garde bien de donner histoire de perdre les lecteurs.

Merci de nous montrer que tu ne comprends rien à ce que tu racontes. Le théorème en question est démontré en logique classique, pas étonnant que celui-ci ne soit pas valable en logique intuitionniste. Avant d'écrire des âneries insultantes, il serait bon d'essayer de réfléchir et de rester humble face aux choses que l'on ne maîtrise pas. Comme l'a dit Foys, ce n'est pas grave de ne pas connaître. Ce qui est grave c'est de commenter des choses que l'on ne connaît pas.

Lars

@Poirot

Arrêtez vous aussi de raconter n'importe quoi. L'insulte est punie par la loi. Si vous pensez qu'il y a insulte, adressez mes messages à un procureur.

Et j'imagine, que vous avez trouvé un moyen détourné de me traiter d'âne (qui donc profère des âneries ? )... qui est une insulte. Voyez je ne m'en offusque pas et je reconnais bien volontiers raconter n'importe quoi si ça vous fait plaisir.

Comme tout avait [été] dit avant (mediat supreme et foys), je ne comprends l'objectif de votre message si ce n'est d'attiser le feu.

Sur ce respectez mon choix de ne plus vouloir participer à cette discussion. Les intervenants de cette discussion méritent mieux. Si vous voulez m'écrire avec MP (je vous répondrai bien volontiers) ou alerter le modérateur, à votre guise.

raoul.S

@Foys j'ai essayé de montrer que $\mathcal{P}(\{0,1\})\setminus \{\emptyset\}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ sans le tiers exclu et je n'y arrive pas... c'est normal ?

Tu as une preuve qu'on ne peut pas montrer $\mathcal{P}(\{0,1\})\setminus \{\emptyset\}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ sans le tiers exclu et que ça ne vient pas de mon incompétence ?

gerard0

Erreur de catégorie très élémentaire :  confondre ce qu'on écrit et ce qu'on est. 
"Tu as écrit une ânerie" n'est pas une insulte, juste une constatation fortement exprimée.
Cordialement. 

raoul.S

@Thierry Poma c'est marrant de lire que des matheux qui s'opposaient à AC l'ont utilisé sans s'en rendre compte...

Je me suis intéressé à la proposition de @Georges Abitbol (un compact dans un séparé est fermé). J'ai trouvé cet autre preuve qui évite l'écueil d'une façon astucieuse : 



Puis je me suis demandé comment Bourbaki faisait... sans scrupules : 

Chaurien

Il a cent-vingt ans, l'axiome du choix, non ? Comment se fait-il qu'on discutaille encore à ce sujet sans se mettre d'accord, alors que d'autres parties des mathématiques, aussi anciennes ou plus récentes, ne posent pas de tels problèmes ? Si j'ai bien lu, on ne trouve pas trace dans Bourbaki de « l'axiome du choix ». Son traité, c'est quand même de la mathématique, non ?

Dom

En effet Gérard, ça fait penser à l’élève à qui le prof dit d’arrêter de faire l’imbécile et qui croit avoir coincé le prof en disant avec la plus grande des jouissances « vous n’avez pas le droit de le traiter d’imbécile ». 

L’élève a le bénéfice de la bêtise ou de l’ignorance. 

Foys

@Chaurien et @raoul.S l'axiome du choix est entraîné par les axiomes choisis dans Bourbaki pour fonder les maths, c'est-à-dire l'utilisation de l'opérateur de description indéfinie "$\tau$" à la place des quantificateurs et extension du schéma de remplacement (en fait d'un schéma d'axiomes équivalent) à toutes les formules et non pas seulement celles équivalentes à des formules du premier ordre ordinaire (i.e. formules écrites avec $\forall,\exists, \vee,\wedge,\Rightarrow,\neg,\in,=$; le langage bourbakiste est en fait strictement plus riche et il y a des énoncés qu'on peut écrire avec ce langage qui ne sont équivalents à aucun énoncé du premier ordre).

Ces axiomes ne sont pas ceux utilisés par un certain nombre les théoriciens des ensembles aujourd'hui (typiquement ceux qui travaillent sur l'axiome de détermination qui lui est incompatible; de toutes façon ce sont des activités où on a besoin d'ajouter/enlever librement des axiomes; le carcan bourbakiste ne convient pas. La logique n'a pas vocation à dire quels sont les axiomes "vrais" des maths, mais à décrire entre autres ce qui se passe si tel ou tel axiome est ajouté ou enlevé). De plus des domaines de recherche actifs  (topos, HOTT ...) se préoccupent d'autres fondements, notamment intuitionnistes et l'axiome du choix ne peut y être utilisé.

Dans "Théorie des Ensembles" de J.-L. Krivine, on trouve au chapitre 10 p.113 une démonstration (très technique) de ce que si un énoncé $F$ est du premier ordre (cf ci-dessus) et si cet énoncé est démontrable dans les fondements bourbakistes, il est alors démontrable dans la théorie des ensembles ordinaire (ZF) avec axiome du choix et axiome de fondation.  

Foys

raoul.S a dit :
Tu as une preuve qu'on ne peut pas montrer $\mathcal{P}(\{0,1\})\setminus \{\emptyset\}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ sans le tiers exclu et que ça ne vient pas de mon incompétence ?

En fait si cet énoncé était prouvable, il entraînerait l'existence de ladite fonction de choix et donc l'équivalence entre ZF intuitionniste et ZF classique par le raisonnement précédent.

Intuitivement (et via le schéma de compréhension), un sous-ensemble d'un ensemble $E$ est un peu la même chose qu'une fonction de $E$ dans $\{v,f\}$. En logique classique (quand on fixe un sens aux objets i.e. qu'on construit des modèles) on peut interpréter toutes les formules par des éléments de $\{v,f\}$. $\mathcal P(\{0,1\})$ est l'ensemble des fonctions de $\{0,1\}$ dans $\{v,f\}$. Mais pour la logique intuitionniste, $\{v,f\}$ va être remplaçable par l'ensemble des ouverts d'un espace topologique qui est beaucoup plus gros. Combien y a-t-il de fonctions de $\{0,1\}$ dans l'ensemble des ouverts de $\R$ ?

raoul.S

OK merci Foys, j'avais lu quelque chose au sujet des axiomes choisis par Bourbaki mais j'avais complètement oublié. En ce qui concerne la logique intuitionniste c'est assez bizarre pour les non initiés...

Médiat_Suprème

Bizarre, vous avez dit bizarre, dans la smooth infinitesimal analysis (intuitionniste) toutes les fonctions sont continues, y compris la fonction $f$ définie par
$x < 0 : f(x)=-1$
$x \ge 0 : f(x) = 1$

Martial

@Foys : je ne veux surtout pas polémiquer (comme disait Chichi), mais que penses-tu de ce que dit Patrick Dehornoy au chap 16 de son livre ? De mémoire : "L'attitude bourbakiste témoigne d'une vision pré-gödélienne de la logique, et des mathématiques en général".

Foys

@Martial je ferai un jour un post détaillé sur ce sujet sensible je pense. Le chapitre XVI du livre de Dehornoy est absolument navrant à quelques points intéressants près qui méritent quand même des commentaires (*), en fait il reprend les pires mensonges d'Adrian Mathias sur ce sujet (pour ce dernier: le mec est logicien professionnel et ose quand même dire que la construction bourbakiste est illégitime parce qu'il y a des termes qui ont trop de caractères (!!!) il sait que les démonstrations sans coupures des théorèmes mathématiques courants ne peuvent pas physiquement exister pour les mêmes raisons d'explosion combinatoire? Oui il le sait vu son job! Pourtant jamais personne au monde n'ira affirmer que le calcul des séquents est illégitime pour cette raison).

(*) Dehornoy dit que la présentation bourbakiste écrase la différence entre syntaxe et sémantique. Je pense qu'ils ont voulu délaisser le sujet plutôt (en déclarant "pour nous un ensemble sera un terme": les moyens expressifs mis à disposition du lecteur permettent de définir sans aucune difficulté un ensemble des formules par exemple). Cette différence provient de la grande richesse des modèles que l'on peut construire, dont certains sont imbriqués les uns dans les autres etc.

La pénibilité de comprendre sur quel plan du discours on se place en théorie des ensembles provient de l'absence radicale de documentation technique sur comment les objets sont encodés. Il ne doit pas y avoir plus trois ou quatre livres au monde où l'écriture "$\{x: F(x)\}$" reçoit une définition formelle par exemple (cette écriture ne fait stricto sensu pas partie du vocabulaire ensembliste), et le traité bourbakiste est parmi eux. Dans tous les autres la signification de cette écriture est abandonnée à la compréhension intuitive du lecteur malgré le besoin crucial de l'interpréter précisément (ne serait-ce que pour connaître le sens précis d'une affirmation comme "$L$ est absolu et minimal" ou tant d'autres ...).

GaBuZoMeu

La démonstration donnée par Foys du théorème de Diaconescu est celle de la page Wikipedia. La démonstration originale de Diaconescu se déroule dans le cadre des topos, et est à mon goût nettement moins choquante. L'article est ici, il est très court

 https://www.ams.org/journals/proc/1975-051-01/S0002-9939-1975-0373893-X/S0002-9939-1975-0373893-X.pdf

Une version topologique de la démonstration de Diaconescu : soit $P$ un ouvert de l'espace topologique $X$, $X_0+_PX_1$ la somme de deux copies de $X$ amalgamée sur $P$. Si la surjection canonique de la somme directe $X_0+X_1$ sur $X_0+_PX_1$ a une section continue $f$ (l'axiome du choix dans le topos des faisceaux sur $X$ !), alors les $V_i=f^{-1}(X_i)$ pour $i=0,1$ sont des ouverts complémentaires de $X_0+_PX_1$, autrement dit $X_0+_PX_1=V_0+V_1$. Notons $u_j : X\to X_0+_PX_1$ pour $j=0,1$ l'injection $X\simeq X_j\hookrightarrow X_0+_PX_1$ et $U_{j,i}=u_j^{-1}(V_i)$. Les $U_{j,i}$ sont ouverts dans $X$ et $X=U_{0,0}+U_{0,1}=U_{1,0}+U_{1,1}$. Puisque $P=(U_{0,0}\cap U_{1,0})+(U_{0,1}\cap U_{1,1})$, son complémentaire $(U_{0,0}\cap U_{1,1})+(U_{0,1}\cap U_{1,0})$ est ouvert : $X= P\cup \neg P$ (où $\neg P$ est le plus grand ouvert disjoint de $P$).

 Vu comme ça, c'est beaucoup plus rassurant, n'est-ce pas ?

GG

... les pires mensonges d'Adrian Mathias sur ce sujet ...

À mon avis, Mathias a simplement dû estimer un peu ridicule la prétention de Bourkaki à vouloir fonder sentencieusement les mathématiques sur la base d'un formalisme dans lequel l'écriture du nombre $1$ requiert $4523659424929$ symboles (sans compter $1179618517981$ liens qui planent au-dessus de l'assemblage) !

Georges Abitbol

Chaurien : Il a cent-vingt ans, l'axiome du choix, non ? Comment se fait-il qu'on discutaille encore à ce sujet sans se mettre d'accord, alors que d'autres parties des mathématiques, aussi anciennes ou plus récentes, ne posent pas de tels problèmes ?

Je ne comprends pas trop. Tous les spécialistes sont d'"accord" au sujet de l'axiome du choix (que ni lui, ni sa négation sont démontrables dans ZF - sauf contradiction de ZF - et que le fait d'être "d'accord" avec ou non n'est [pas] une question mathématique - en effet, il y a des démonstrations qui supposent $AC$, d'autres qui supposent $\neg AC$, et alors ?), et il suffirait que tu t'informes un minimum pour être au courant. Comment se fait-il que tu discutailles encore au sujet de la logique, alors que d'autres parties des mathématiques, aussi anciennes ou plus récentes, ne te posent pas de tels problèmes ?

Dom

Cela m'évoque un prof. qui n'avait jamais travaillé la logique et qui ne trouvait pas mieux que de la dénigrer.
Cela fait penser, d'une manière plus générale, au slogan galvaudé (ou non) : "on a peur que de ce que l'on ne connaît pas".

Thierry Poma

@Chaurien : ouvrir le livre Théorie des ensembles de Bourbaki :

• en E II.18 et examiner la proposition 8 ;
• en E II.33 et examiner la section 4 intitulée "Produits partiels", dont on étudiera le corollaire 2 et sa note. Le théorème du choix s'en déduit par contraposition ;
  
• en E III.20 et examiner le théorème 1.

L'axiome du choix global y est également un théorème. En effet, d'après le théorème 1 en E II.6, il vient en vertu des conventions adoptées et du critère métamathématique C46 en E I.41, où la lettre $\mathbf{u}$ choisie ici n'est pas une constante de la théorie développée :

\[\mathbf{u}=\tau_{\mathbf{u}}\left((\forall\,x)(x\not\in\mathbf{u})\right)=\emptyset\Leftrightarrow(\forall\,x)(x\not\in\mathbf{u})\]i.e. par contraposition et en vertu du critère C26 (E I.32)\[\mathbf{u}\ne\emptyset\Leftrightarrow\tau_{x}(x\in\mathbf{u})\in\mathbf{u}\qquad(\text{critère appliqué à }R\equiv{}x\not\in\mathbf{u})\](j'ai pris un raccourci dangereux !), d'où\[(\forall\,\mathbf{u})\left(\mathbf{u}\ne\emptyset\Leftrightarrow\tau_{x}(x\in\mathbf{u})\in\mathbf{u}\right)\]en vertu du critère C27 (E I.32), puisque, pour rappel, la lettre $\mathbf{u}$ n'est pas une constante.

Note : il est possible de justifier métamathématiquement ce qui précède, en se montrant plus rigoureux, en remarquant que\[(\forall\,x)\left(\neg(x\not\in\mathbf{u})\Leftrightarrow(x\in\mathbf{u})\right)\]de sorte que, par application du schéma d'axiomes de Hilbert et Ackermann S7 (E I.38), l'on obtienne $\tau_{x}(\neg(x\not\in\mathbf{u}))=\tau_{x}(x\in\mathbf{u})$. Le reste est trivial.

raoul.S

GaBuZoMeu a dit : 

 Vu comme ça, c'est beaucoup plus rassurant, n'est-ce pas ?

Oui et non. Mes connaissances en logique sont trop pauvres pour apprécier, il me manque "du contexte". Au fil du temps j'ai acheté les principaux bouquins français traitant la logique et la théorie des ensembles mais je n'ai lu que les premiers chapitres de chacun...

GaBuZoMeu

raoul.S, pourquoi invoques-tu tes lacunes en logique à propos de la version topologique du théorème de Diaconescu ? C'est vraiment purement topologique : montrer que si, pour un ouvert $P$ de $X$, la surjection canonique $X_1+X_2\to X_1+_PX_2$ a une section continue, alors $P$ est fermé. Aucune connaissance logique n'est utilisée !

Mais c'est essentiellement le contenu de l'affirmation "l'axiome du choix ajouté à l'intuitionnisme amène dans ses bagages le tiers-exclu".

Martial

@Thierry Poma : je ne comprends pas ta démarche. Dans ton message à Chaurien tu cites Bourbaki comme si c'était l'Evangile. Ce que je ne supporte pas c'est ce fameux "théorème du choix global". Axiome, oui, mais théorème me paraît un peu dictatorial de la part des auteurs. C'est un peu comme si tu disais "bon les gars, maintenant vous travaillez dans $ZFC+\mathbb{V}=\mathbb{L}$, sinon vous allez en prison.

Thierry Poma

@Martial : bonjour. J'espère que tu vas bien. Je cite Chaurien : si j'ai bien lu, on ne trouve pas trace dans Bourbaki de « l'axiome du choix ». Son traité, c'est quand même de la mathématique, non ?

Je ne fais que répondre à sa question. D'autre part, je ne peux pas changer le point de vue bourbachique sur la question de l'axiome du choix qui en devient un théorème dans leur théorie des ensembles. Il s'agit d'un choix idéologique consistant à faire c... les vieux de l'époque.

raoul.S

@GaBuZoMeu oui le problème c'est qu'il faut relier tout ça aux formules (énoncés écrits dans le langage des ensembles) et je ne sais pas comment même si j'imagine qu'il s'agit de la "sémantique topologique" (sur laquelle je ne me suis jamais penché). De plus il y a probablement un résultat qui dit que si je démontre un truc dans ma traduction topologique alors elle est démontrée au niveau des formules. Si c'est ça je vois la chose... de loin.

Foys

Martial a dit :

@Thierry Poma : je ne comprends pas ta démarche. Dans ton message à Chaurien tu cites Bourbaki comme si c'était l'Evangile. Ce que je ne supporte pas c'est ce fameux "théorème du choix global". Axiome, oui, mais théorème me paraît un peu dictatorial de la part des auteurs. C'est un peu comme si tu disais "bon les gars, maintenant vous travaillez dans $ZFC+\mathbb{V}=\mathbb{L}$, sinon vous allez en prison.

Même si personne ne veut l'avouer, 99.99999999% des maths ont lieu dans V=L parce le simple fait que les matheux s'expriment par formules. C'est pour ça que Hugh Woodin peut faire du trolling et déclarer qu'en fait "au fond HC est vraie". Cela étant et à nouveau, Bourbaki est conservatif sur ZFC (+AF) seul.

Thierry Poma

@raoul.S : peut-être dans un premier serait-il judicieux d'examiner ceci. GaBuZoMeu pourra, s'il le souhaite, apporter des informations complémentaires (si tu le veux également !).

Martial

@Thierry Poma : oui, je vais bien. Et toi ? Sorry, je n'ai pas eu le courage de lire tout le fil, donc je ne savais pas que tu répondais à Chaurien. Je croyais que tu défendais Bourbaki, ce qui me surprenait de ta part. (D'où l'agressivité apparente de mon post).

Ce qui m'énerve (souvenir souvenir), c'est que quelque part Bourbaki se vante(nt) de ne justement pas avoir besoin d'un axiome de choix. Evidemment, c'est le $\tau$ qui fait tout le taf.

Comme tu dis, ils font ch... les vieux de l'époque, mais aussi les vieux de maintenant.

@Foys : je respecte ton avis concernant le chap 16 du livre de Patrick Dehornoy, et je comprends tes arguments. Néanmoins je continue à ne pas être d'accord avec toi. Pas grave, c'est comme en politique, difficile de convaincre quelqu'un qui est du bord strictement opposé au tien. (Quoique, de nos jours il semblerait bien que le paysage politique soit une variété sans bords, si je puis me permettre).

Thierry Poma

@Martial : tu n'as pas besoin de t'excuser. J'avais su lire entre les lignes et avais donc deviné ce que tu m'expliques. Cependant, je ne cache pas ma fascination pour Bourbaki ; ils ont fait un excellent boulot pour l'époque.

raoul.S

@Thierry Poma merci je vais lire ce fil ces prochains jours, mais je ne compte pas étudier la logique intuitionniste plus que ça pour le moment. Je veux traiter d'autres sujets d'abord si ma flemme me le permet...

pldx1

Foys a dit :

* Le chapitre XVI du livre de Dehornoy est absolument navrant à quelques points intéressants près qui méritent quand même des commentaires (*)
* Les pires mensonges d'Adrian Mathias sur ce sujet (pour ce dernier: le mec est logicien professionnel et ose quand même dire que la construction bourbakiste est illégitime parce qu'il y a des termes qui ont trop de caractères (!!!) 

Comment distinguer entre les productions navrantes des "logiciens du forum"  et les productions des "logiciens de la logique" ?
Un méta-critère semble être que les uns excommunient, les autres argumentent.  Une consultation de https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/hbslmag2.pdf , sans parler d'une lecture du bouquin de Dehornoy, semble suggérer cela. 

Mais c'est évidemment un argument circulaire: si Dehornoy est perrave, alors Dehornoy prouve tout, y compris les tartes à la rhubarbe.

Cordialement, Pierre.

umrk

Evidemment, comme Mathias utilise l'argument suprême des anglo-saxons contre notre beau pays : "dirigisme" (= l'obscénité ultime)  (avec, pour faire bonne mesure, la référence à leur bête noire (et obsession) Napoléon ...). Avec des arguments aussi forts, aussi objectifs, il n'y a pas à douter des conclusions de Mathias. 

Foys

@pldx1 : Le chapitre XVI en question ne fait pas partie du contenu mathématique du texte. Patrick Dehornoy assume entièrement la production d'un texte politique où il émet des jugements de valeur, un peu comme quand Godement dénigre l'Algérie Française ou les militaires dans ses livres (quand je les consulte je préfère me concentrer sur les parties mathématiques). C'est contre cette partie du livre que mon propos est dirigé, sur l'invitation de @Martial . Le reste du livre n'est pas du tout concerné par ces critiques et en fait personnellement je conseillerais à quelqu'un qui veut faire de la théorie des ensembles de lire Dehornoy au lieu de Bourbaki (que dans cette optique je déconseillerais carrément, le livre ne couvrant absolument pas les besoins de ce type de lecteur). Le "théorie des ensembles de Bourbaki" n'est pas un livre de théorie des ensembles. C'est un livre qui explicite le contenu bas niveau des maths usuelles  au lieu de le maintenir dans la dissimulation (autrement dit le privilège jalousement gardé de ceux qui savent et qui arbitrent autoritairement) pour régler des débats stériles une fois pour toutes. Si ce livre s'était appelé "fondements des mathématiques courantes" (c'est le titre qu'il aurait dû avoir à mon humble avis), il n'y aurait peut-être pas eu toutes ces polémiques.

Pour la énième fois, les faits:

Bourbaki est conservatif sur ZFC

(ZFC avec axiome de fondation, mais de nos jours tout le monde semble s'accorder sur le fait que AF est par défaut dans ZF).

La preuve  de cette affirmation se trouve aux pages 113 à 121 de  Théorie des ensembles de Jean-Louis Krivine https://www.amazon.com/Theorie-Ensembles-French-Jean-Louis-Krivine/dp/2842250966

Donc toutes ces jérémiades trouvables dans des textes prétendument critiques sont des émotions dont je n'ai que faire et si vous n'aimez pas Bourbaki, regardez ailleurs et le problème est réglé.

"ils ne connaissaient pas le théorème de Gödel"

Ça a été vrai pendant un certain temps. Puis ils ont appris (peu de gens font ce genre de remise en cause mais les bourbakistes, oui).

Les pages 73 à 76  du livre IV de l'édition de 1970 du "Théorie des ensembles" Bourbakiste contiennent un exposé informel sur le théorème de Gödel.

Thierry Poma

@Foys : la paternité de la description informelle du théorème de Gödel revient à Claude Chevalley, tout comme la paternité du livre I dudit livre. Chevalley connaissait bien Jacques Herbrand dont on pourra savourer ses écrits logiques.

Foys

Merci pour ces précisions @Thierry Poma !

Martial

@pldx1 : si Dehornoy est perrave, alors moi je suis le roi des c..s !

pldx1

@Martial.  En fait, on a:  $\left(\mathrm{Dehornoy\;est\;perrave}\right)  \underset 1 \implies \left( \mathrm{Dehornoy} \underset 2 \implies \mathrm{tout}\right)$  et ta réponse semble mettre en doute que le fait que l'implication (2) est impliquée par l'assertion  $\left(\mathrm{Dehornoy\;est\;perrave}\right)$ peu importe que cette assertion soit prouvée ou non. Ce serait une faute de logique de faire cela.
 
Evidemment, en partant du fait que $\mathrm{non} \left(\mathrm{Dehornoy\;est\;perrave}\right)$ est prouvée, on voit que l'on peut mettre n'importe quoi comme deuxième partie de l'implication (1). Mais ceci est une deuxième choucroute, qui n'a rien à voir avec la première.

Cordialement, Pierre.

GaBuZoMeu

perrave ou pérave ? Qu'en pense AD ?

gerard0

Moi, je ne connaissais que "pourrave", déclinaison de "pourri". perrave et pérave, eux, sont inconnus de mon correcteur orthographique.

Cordialement.

umrk

Eh bien en plus de m'instruire en maths, j'enrichis aussi mon vocabulaire sur ce site ......

Martial

@pldx1 : je ne mettais pas en doute ton implication, oeuf corse !

Je référais plutôt à la 2ème choucroute. Ma phrase était un raccourci pour : "Dehornoy est à des milliards d'années-lumière au-dessus de moi, alors si ce qu'il raconte est pérave ça veut dire que je n'ai jamais écrit quoi que ce soit d'intelligent sur ce forum".

Comme tu le vois, il n'y avait rien de mathématique dans mes propos.

Martial

@Foys : je reviens, avec deux semaines de retard, sur ta preuve du théorème de Diaconescu. Sur le moment j'avais parfaitement compris, mais maintenant il me vient une interrogation. Tu écris "soit $\varphi : \mathscr P(\{0,1\}) \to \{0,1\}$ une fonction de choix". Dans un contexte classique, tout le monde (moi le premier) comprend que $\varphi$ est définie en fait sur $\mathscr P(\{0,1\} \setminus \{0\}$, et qu'à tout ensemble non vide elle associe l'un de ses éléments. Mais dans le contexte intuitionniste il peut y avoir des sous-ensembles de $\{0,1\}$ qui sont non vides mais inhabités. Quel est dans ce cas le domaine de définition de $\varphi$ ?

J'aurais envie de dire que c'est l'ensemble des sous-ensembles habités de $\{0,1\}$, mais je ne suis pas sûr de mon coup.

Martial

En fait je crois que je me casse la tête pour rien, car par définition on a $0 \in D_0$ et $1 \in D_1$, donc $D_0$ et $D_1$ sont habités, et on peut parler de leur image par $\varphi$. Finalement, RAS.

[Utilisateur supprimé]

Lars a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2363776/#Comment_2363776

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

L'axiome du choix dit que si on a un ensemble A non vide dont aucun élément n'est vide, alors $\prod A$ n'est pas vide. Les éléments de $\prod A$ sont les fonctions choix de A et sont très utiles dans bien des démonstrations mathématiques.
Si A est fini alors $\prod A$ est réalisé par $\mathrm{card}(A)-1$ itérations du produit cartésien binaire, donc le cas A fini est un théorème.

Edit. $\mathrm{card}(A)-1$ itérations et non "une itération".

GaBuZoMeu

Les flèches d'ensembles https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2365097/#Comment_2365097 fournissent un exemple concret de quotient d'un objet fini où le passage au quotient n'admet pas de section : un contre-exemple à l'axiome du choix dans le cas fini !

L'objet fini : $\mathbf 2 = \{0,1\}\stackrel{\mathrm{Id}}\longrightarrow\{0,1\}\stackrel{\mathrm{Id}}\longleftarrow\{0,1\}$

La relation d'équivalence $\mathbf R$ : égalité à gauche, égalité à droite, équivalence qui écrase tout au milieu. Le quotient : $\mathbf{2/R} =\{0,1\}\rightarrow\{*\}\leftarrow\{0,1\}$.

Le passage au quotient $\mathbf 2\to \mathbf{2/R}$ n'admet aucune section.