Complétude de $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$

fifi21

Bonjour, 
pour montrer que $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$ est complet, Gourdon invoque le fait que c'est un fermé de l'ensemble des fonctions continues bornées de $\R$ dans $\C$.
Mais, est-ce correct de faire le raisonnement suivant  ?
On considère $(f_n)$ une suite de Cauchy de  $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$, alors $(f_n(x))$ est de Cauchy sur $\R$ donc converge vers $f(x)$.
Puis, en reprenant la définition, on a que $f_n$ converge uniformément vers $f$, donc $f$ est continue comme limite uniforme.
En enfin, par passage à la limite dans $f_n(x+2\pi)=f_n(x)$, on a que $f$ est $2\pi$ périodique.

Héhéhé

Tu es en train de redémontrer le fait que cet espace est un fermé.

fifi21

d'accord, donc si je donne cette démonstration, c'est correct ?

math2

Effectivement, ta démarche est bonne, mais si tu souhaites plus détailler que Gourdon, tu dois expliquer pourquoi la continuité se conserve par passage à la limite uniforme (ce qui est le plus le point le plus délicat une fois la démarche comprise).

Barjovrille

bonjour, la démonstration de fifi21 est correcte il est parti d'une suite de Cauchy et il a montré qu'elle admet une limite dans l'espace, donc l'espace est complet. Le seul point qui mérite un peu plus de détail c'est le "en reprenant la définition on a que...". Mais l'argument de Gourdon est un peu plus simple il ne te suffisait pas ? C'est  facile de démontrer qu' un sous-espace fermé d'un espace complet est complet.

Lars

Bonjour

Cette démonstration est incomplète donc fausse. Il reste à montrer que le candidat obtenu f est bien la limite de la suite fn.

fifi21

Bonjour Lars,
Pour montrer que $f$ est bien limite de $f_n$, je ne l'ai pas détaillé, repars de la définition de la suite de Cauchy et fais tendre $q$ vers $\infty$, j'obtiens donc $\forall x,\ \forall p>N,\ \vert f_p(x)-f(x)\vert <\epsilon$ donc $\forall p>N,\ \Vert f_n-f\Vert_\infty <\epsilon$. C'est toujours faux ?

Lars

Oui correct.

J'aurais juste ajouter une ligne préalable, qui est juste une conclusion de ce que vous avez écrit auparavant : $$f\in C^{2\pi}$$

D'ailleurs, c'est souvent la même trame pour montrer la complétude d'autres espaces :

1) on cherche le candidat (à partir d'une suite de Cauchy) ;

2) on prouve que le candidat est dans le bon espace ;

3) on prouve que la suite de Cauchy converge vers le candidat.

fifi21

oui, merci !

Lars

Outre l'autre possibilité signalée (fermé d'un complet), si vous connaissez un théorème de relèvement (non trivial mais intuitif), vous avez affaire à un espace de fonctions continues sur un compact...

SkyMtn

fifi21 a dit :

Bonjour Lars,
Pour montrer que $f$ est bien limite de $f-n$, je ne l'ai pas détaillé repars de la définition de la suite de Cauchy et fais tendre $q$ vers $\infty$, j'obtiens donc $\forall x, \forall p>N, \vert f_p(x)-f(x)\vert <\epsilon$ donc $\forall p>N, \Vert f_n-f\Vert_\infty <\epsilon$. C'est toujours faux ?

En prenant la borne supérieure, tu as $\| f_n-f\|_\infty \le \varepsilon$. L'inégalité stricte n'est pas préservée en général.  Lars a dit :

Outre l'autre possibilité signalée (fermé d'un complet), si vous connaissez un théorème de relèvement (non trivial mais intuitif), vous avez affaire à un espace de fonctions continues sur un compact...

On peut dire que $C_{2\pi}(\mathbb R) = C(S^1)$ oui, mais ça ne coûte pas grand chose de montrer qu'une limite simple/uniforme de fonctions $2\pi$-périodiques est $2\pi$-périodique... en tout cas ça coûte bien moins cher qu'un théorème de relèvement.

Lars

Oui tout à fait inégalité stricte devient large. J'aurais dû lire plus attentivement.
Mais puisqu'on en est dans les coquilles la correction de SkyMtn est elle aussi fausse : il n'y a pas d'indice n mais un indice p.

Je n'ai pas compris ce que veut dire coûte moins cher. En temps passé ? En intérêt  ? En risque pour un oral ?

La plus intéressante quand on a affaire à des fonctions périodiques est celle utilisant le  théorème de relèvement.

On ne sera pas d'accord. Tanpis.

SkyMtn

D'ailleurs, une démonstration n'est pas vraie ou fausse, c'est un abus de langage. On peut dire qu'un énoncé est vrai ou faux, mais pas une démonstration. On préférera parler de démonstration valide ou de démonstration pas valide (aussi, dans la vie de tous les jours, on parle plutôt d'arguments valides que d'arguments vrais). 

Ok j'ai recopié l'erreur de typographie, mais ça ne change rien à ma remarque. Quant au théorème de relèvement, l'utiliser dans ce contexte n'est pas nécessaire, ni même pertinent. On parle quand même d'un exercice de niveau L2 (au plus), ce qui signifie qu'il peut être traité avec des outils/techniques très très rudimentaires.  

Lars

Je pense que le débat n'intéresse pas fifi21 qui a ses réponses.

Pour fifi désolé ce hors sujet

Pour les modérateurs, ne pas hésiter à supprimer si incorrect.

 

La notion d'espace complet est une notion mathématique bien plus avancée et plus difficile à comprendre que ce théorème de relèvement en particulier. Donc, là aussi on ne sera pas d'accord. 

Concernant les programmes L2 ou au-delà je n'en sais rien. Dieudonné se plaignait des étudiants qui faisaient de l'analyse fonctionnelle sans savoir faire une majoration. Ce qui était à son époque est sans doute toujours vrai aujourd'hui ???

Par ailleurs, vous me prenez à partie, ce que je n'apprécie pas (j'espère que ça s'est senti dans mon message précédent, sinon c'est dit), en essayant de me faire dire des choses que je n'ai pas écrites. Je n'ai jamais conseillé à fifi le relèvement. Et pourtant, comme je l'ai écrit dans l'autre message, j'estime que c'est la preuve la plus intéressante.