Variables indépendantes et identiquement distribuées

Snobi

Bonjour, 
Je me demande si il y a une erreur dans cet exercice au niveau de la fonction de vraisemblance, pourquoi les "$\sigma_ i$" sont différents ?
Les variables aléatoires $X_i$ ont la même loi iid !!! ?
Merci d'avance.

Poirot

L'auteur a sûrement écrit "iid" par réflexe, mais voulait seulement dire indépendante de lois normales avec les paramètres donnés.

Snobi

Merci .
la fonction de vraisemblance est la densité du vecteur aléatoire $(X_1,X_2, \cdots,X_{10})$ si j' ai bien compris mais généralement dans la fonction de vraisemblance les $X_i$ sont des "iid" , un n-échantillon aléatoire d'une variable aléatoire donnée $X$ ? mais ce n'est pas le cas je pense .

Positif

Les $\sigma_i$ sont différents, c'est le $m$ qui est commun. L'auteur a fait une erreur. 

Snobi

Est-ce que le fait d'écrire cela ne permet pas de résoudre l'exercice ?

Positif

Je ne comprends pas ce que tu veut dire l'auteur, car la vraisemblance est le produit des densité, que tu composes par le $\log$ pour la transformer en somme. Quand bien même tu vois des $\sigma_i$ différents, annuler la dérivée ne les fait pas intervenir. 

Snobi

Je ne pense pas.

Positif

$m$ n'est pas la seule variable. Les $\sigma_i$ sont aussi des variables. Et tu dois résoudre simultanément $\partial_{\sigma_k} f(m, \sigma_1, \cdots, \sigma_n) = 0$ et $\partial_m f(m, \sigma_1, \cdots, \sigma_n) = 0 $.

Snobi

 Quelqu'un sait une chose ici ? car j'attends une réponse comme ceci:

 Pour moi la méthode du maximum de vraisemblance s'applique dans un n-échantillon (encore une fois iid!) et merci.

Snobi

@Positif
mais dans l'exercice on cherche un estimateur $T$ de $m$ seulement.

Positif

Imaginons que tu cherches les autres variables également. Tu as $n$ observations pour $n+1$ variables, ça ne va donc pas bien se passer, tu ne pourras pas trouver $m$ et les $\sigma_k$ en même temps. Mais résoudre les équations $\partial_{\sigma_k} f(m, \sigma_1, \cdots, \sigma_n) $ va te donner une relation entre $m$ et les $\sigma_k$. Comme tu auras $n$ équations supplémentaires, tu pourrais essayer d’en faire la somme ou des trucs du genre. Moi j’ai calculé que cela reliait $\sigma_k^2$ à $X_i - m$. La méthode du maximum de vraisemblance ne te dit pas que tu peux résoudre les $\partial_{x_i} f$ séparément pour trouver l'estimateur qui te plait, elle te dit que la "bonne famille d'estimateur" doit forcément vérifier, conjointement, $\partial_i f(x) = 0$. Tu ne te feras pas l'économie de ces calculs.

Snobi

Merci !