Tests et prévalence (niveau terminale)

Cirdec
Modifié (June 2022) dans Statistiques
Bonjour,
Soient T : "le résultat du test est positif" et M : "la personne est malade".
La prévalence est définie comme la probabilité de M, c'est-à-dire P(M).
La valeur prédictive positive est définie comme la probabilité conditionnelle de M sachant T, c'est-à-dire la probabilité que la personne soit malade sachant que le test est positif.
Est-il exact de dire que plus la prévalence est faible, plus la valeur prédictive positive est faible ?
Je pense que c'est faux car je n'arrive pas à le démontrer mais je ne trouve pas de contre-exemple ...
Merci de votre aide !
C.

Réponses

  • rebellin
    Modifié (June 2022)
    La valeur prédictive positive est $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}.$ Il n'y a aucune raison pour qu'une valeur plus faible de $P(M)$ donne une valeur plus faible pour $P(M\cap T),$ et donc pour $P_T(M).$
    Je te laisse chercher seul un contre-exemple, mais ce n'est vraiment pas difficile : il suffit de prendre un exemple quelconque, puis d'intervertir les rôles de $M$ et $\overline{M}.$
  • Vassillia
    Modifié (June 2022)
    Bonjour, désolée mais pas d'accord avec le message précédent, il y a une très bonne raison au contraire puisque $P(M\cap T)=Se\times P(M)$ avec $Se=P_M(T)$ une caractéristique intrinsèque du test diagnostique donc une constante mathématiques.
    Je rappelle que l'on peut démontrer que $VPP=\dfrac{Se\times P(M)}{Se\times P(M)+(1-Sp)(1-P(M))}$ il ne reste plus qu'à étudier cette fonction qui ne dépend que de $P(M)$ pour avoir le sens de variations.
    Il est exact de dire que plus la prévalence est faible, plus la VPP est faible

    Edit : Tu peux aussi étudier le sens de variations en t'intéressant au nomogramme de Fagan qui donne dans la dernière colonne la VPP si tu connais la probabilité pré-test (prévalence) et le rapport de vraisemblance positif (c'est à dire Se/(1-Sp)).




    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonjour Vassillia.
    "une caractéristique intrinsèque du test diagnostique donc une constante mathématiques." ??? Ce n'est pas un objet mathématique, mais un objet biologique idéal, un nombre inconnu qu'on essaie d'évaluer en supposant qu'il existe, c'est-à-dire qu'il est bien modélisable correctement par une constante.
    Donc la réponse de Rebellin est correcte mathématiquement, même si, dans la pratique, pour un test dont l'efficacité ne dépend pas de la prévalence, la réalité soit autre.
    Cordialement.

  • Je suis d'accord que ce n'est pas une constante connue et qu'on aura au mieux un intervalle de confiance dessus mais pour le sens de variations, on va quand même se servir de cette modélisation.
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  • Soc
    Soc
    Modifié (June 2022)
    Le fait de mettre un nom sur les événements fausse la compréhension. Soit il y a un cadre implicite plus général qui se doit d'être explicité (c'est dans ce cadre que se place Vassilia), soit il n'y en a pas et le choix des noms est là pour montrer qu'il induit un biais (c'est dans ce cas que se place Rebelin).

    Pour ma part je vois les choses comme Rebellin. Prenons par exemple M- M+ puis M- S+ alors P(M/+) passe de 1 à 0 quand P(M) diminue.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Vassillia
    Modifié (June 2022)
    Bien vu, ma réponse différente est uniquement due au cadre implicite imposé par le choix des noms mais je pense que ce cadre est pertinent, voir l'objectif initial de CIRDEC https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329934/math-et-fiabilite-de-tests
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • J'avais d'abord écrit un message plus long, en ajoutant à la fin que, dans la pratique et pour une maladie donnée, ce devait être une fonction croissante (j'y parlais de la formule de Bayes). Mais d'une part  j'ai eu l'impression que l'auteur du fil travaillait dans un cadre très général, où la maladie, le test, etc., n'étaient pas spécifiés (proposer d'intervertir $M$ et $\overline{M}$, c'est vraiment de la théorie) ; d'autre part il ne me semblait pas évident que les quantités "constantes" le fussent réellement dans la pratique.
    Mais bon, je crois que tu as mieux interprété que moi la question de @CIRDEC, et vu que tu as aussi l'air de mieux connaître que moi ce domaine, je lui conseille de suivre tes indications.
    @CIRDEC : c'est inspiré du récent sujet de bac ? Et c'est pour le grand oral ?
  • Cirdec
    Modifié (June 2022)
    Bonjour,
    excusez-moi, je ne comprends pas toutes vos remarques.
    Si j'essaie de comprendre la première intervention de Vassillia en lien avec mes sollicitations précédentes, qui repose sur le fait que la sensibilité (Se) soit une constante et que la spécificité (Sp) soit aussi constante (je pense que c'est un oubli de ne pas l'avoir précisé), j'arrive à VPP qui est exprimée en fonction de la prévalence uniquement.
    Si je pose a=Se= une constante,
    b = 1-Sp = une autre constante
    et x= P(M) = la variable
    alors il faut que j'étudie f(x)= a x /(a x + b - b x) , c'est ça ?
    En calculant f ' (x) la dérivée je trouve que son signe ne dépend que du numérateur qui est ab qui est positif.
    Est-ce correct ?
    Merci !
    C.
  • et donc f est croissante ce qui confirme le fait que plus la prévalence est faible, plus la VPP est faible (avec Se et Sp fixés).
    Est-ce correct ??
    Merci.
    C.
  • Oui, c'est ça, c'est la bonne dérivée et la bonne interprétation.
    Il conviendrait de se renseigner sur la pertinence de l'hypothèse "$P_M(T)$ constant".
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