Puissances de quatre
Soit $n$ un entier qui en base $10$ s'écrit $\overline {a_ka_{k-1}\dots a_1 a_0}$.
On pose $E_n=\{\overline {a_k a_{k-1}}; \,\overline {a_{k-1} a_{k-2}}; \,\dots ;\,\overline {a_2a_{1}};\,\overline {a_1a_{0}}\}$, $E_n$ contient $k$ nombres de deux chiffres.
$f(n)$ se calcule en ajoutant le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $25$ avec le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $50$ et avec le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont supérieurs ou égaux à $75$ (on peut compter plusieurs fois le même élément).
Par exemple $f(2875)=7$ ; $f(100003)=0$ ; $f(1789)=6$ ; $f(4^8)=7$.
Calculer $\displaystyle \sum _{i=0} ^{\infty}\dfrac {f(4^i)}{4^i}$.
Réponses
-
Tiens, un problème du projet Euler.
The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Ah bon, quel numéro ?
Depuis deux jours que je tente de fabriquer une somme télescopique !!
-
Je n’ai pas vérifié mais c’est le genre de problème qu’ils posent.
The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Je devine que c'est $\dfrac4{90}$ mais je ne l'ai pas encore démontré.
-
Bien deviné jandri !
-
Je l'ai démontré avec un télescopage (comme tu l'avais suggéré).
-
Bravo jandri.Je voulais construire un exercice utilisant l'identité d'Hermite.
-
Merci pour ce bel exercice. Avant d'avoir fait un calcul approché je ne pensais pas qu'il y avait un résultat aussi simple pour la somme.
Je n'ai pas du tout utilisé l'identité d'Hermite mais j'ai cependant une démonstration assez courte.
J'ai d'abord démontré $f(n)=\displaystyle\sum_{k\geqslant2}\left(\left\lfloor\dfrac{4n}{10^k}\right\rfloor-4 \left\lfloor\dfrac{n}{10^k}\right\rfloor\right)$ puis j'ai permuté les sommations pour obtenir un télescopage. -
Merci jandri.$\displaystyle\sum_{k\geq2}\Big (\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{1}{4}\rfloor -\lfloor\dfrac{n}{10^k}\rfloor\Big )$ donne le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont plus grands que $75$.$\displaystyle\sum_{k\geq2}\Big (\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{2}{4}\rfloor -\lfloor\dfrac{n}{10^k}\rfloor\Big )$ donne le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont plus grands que $50$.$\displaystyle\sum_{k\geq2}\Big (\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{3}{4}\rfloor -\lfloor\dfrac{n}{10^k}\rfloor\Big )$ donne le nombre d'éléments de $E_n$ qui sont plus grands que $25$.On trouve $f(n)$ en ajoutant ces trois sommes.$f(n)=\displaystyle\sum_{k\geq2}\Big (\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{1}{4}\rfloor+\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{2}{4}\rfloor +\lfloor\dfrac{n}{10^k}+\dfrac{3}{4}\rfloor -3\lfloor\dfrac{n}{10^k}\rfloor\Big )$On applique l'identité d'Hermite aux trois premiers termes et on retrouve le résultat de jandri.
-
Je suis parti de $f(n)=\displaystyle\sum_{k\geqslant0}\left\lfloor\dfrac{\overline {a_{k+1}a_k}}{25}\right\rfloor$ puis j'ai écrit $\overline {a_{k+1}a_k}=\left\lfloor\dfrac{n}{10^k}\right\rfloor-100\left\lfloor\dfrac{n}{10^{k+2}}\right\rfloor$.
Avec $\left\lfloor\dfrac{1}{a}\left\lfloor\dfrac{n}{b}\right\rfloor\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{ab}\right\rfloor$ pour $a$ et $b$ dans $\N^*$ on obtient la formule que j'ai donnée plus haut pour $f(n)$. -
Une variante.$n$ est un entier positif, $g(n)$ est égal au nombre de chiffres de $n$ (en base $10$) qui sont supérieurs ou égaux à $5$, augmenté de deux fois la somme des chiffres de $n$. Par exemple $g(2027)=23$ et $g(729)=38$.Montrer que $\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty} \dfrac {g(2^i)}{20^i} =2+\dfrac {4}{20}+\dfrac {8}{400}+\dfrac {17}{8000}+\dfrac {15}{160000}+ \dots =\dfrac {20}{9}$Edit : Merci jandri pour la correction.
-
Je pense qu'il faut corriger l'égalité à démontrer en : $\displaystyle \sum _{i\geqslant0} \dfrac {g(2^i)}{20^i} =2+\dfrac {4}{20}+\dfrac {8}{400}+\dfrac {17}{8000}+\dfrac {15}{160000}+ \dots =\dfrac {20}{9}$
-
Si on itère la fonction $g$ à partir d’un entier quelconque, on peut faire une remarque.
-
Merci pour cette suggestion, je n'y aurais pas pensé. Ce n'est pas très difficile à démontrer.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres