Axiome de Lusin again

Jean--Louis
Modifié (May 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour, j'avais il y a longtemps posté sur ce sujet mais les réponses ne m'ont pas vraiment pleinement satisfait. Voilà : dans mon livre de sup/ spé de Gaston Casanova, Il écrit "Théorème. Toute partition de E (ensemble quelconque) définit une relation d'équivalence." Après une courte démonstration il ajoute : "C'est une autre question que l'étude de la réciproque : une relation d'équivalence R définit-elle une partition de E ?". Il donne  alors un exemple : "la relation a - b = r (rationnel) est d'équivalence... Les rationnels forment une classe, les autres classes contiennent un ensemble d'irrationnels obtenus en ajoutant à l'un deux successivement tous les rationnels, mais l'ensemble de ces classes ne peut être dénombrable car R devrait l'être ce qui n'est pas le cas. On ne peut donc indiquer un moyen de réaliser effectivement la partition dont on se trouve conduit à admettre l'existence théorique, d'où l'axiome : AXIOME DU PARTAGE (LUSIN) : toute relation d'équivalence détermine une partition dans un ensemble E". C'est lui qui met des majuscules. J'ai googolisé mais je ne trouve rien de concluant. J'intuite que cet axiome de Lusin est un cousin de l'axiome du choix. Qu'en pensez-vous ? Gaston Casanova était me semble-t-il un prof très compétent. Je ne crois pas à une erreur de sa part.
Cordialement.
Jean-Louis.

Réponses

  • Poirot
    Modifié (May 2022)
    Ce Monsieur Casanova avait fumé la moquette : il n'y a pas besoin d'un quelconque axiome supplémentaire pour montrer qu'un relation d'équivalence sur un ensemble non vide $E$ induit une partition. Soit $R$ une telle relation. L'ensemble des classes d'équivalence pour $R$ forme évidemment une partition de $E$ (tout élément est dans une classe d'équivalence, et celles-ci sont deux à deux disjointes).
    Il semble parler plutôt de "réaliser effectivement la partition", de manière constructiviste donc, et la seule chose que ça m'évoque, c'est le fait de trouver un ensemble de représentants de ces classes d'équivalence. En toute généralité, c'est exactement l'axiome du choix, et il est notoirement utilisé pour "exhiber" un système de représentants de la relation d'équivalence sur $\mathbb R$ dont tu parles.
  • Oui mais alors sans l'axiome du choix on ne peut pas exhiber un système de représentants de la partition.
    Et merci pour ta réponse.
    Jean-Louis.
  • Hi Jean-Louis et Poirot,
    Je pense que Casanova s'est mal exprimé, il a voulu aller trop vite. La partition existe dans tous les cas, mais sans axiome supplémentaire on ne peut pas exhiber un système de représentants. Quant au fameux axiome de Lusin, c'est un exercice straightforward de démontrer qu'il est exactement équivalent à l'axiome du choix.
  • Ah Martial, je savais bien que tu interviendrais...Bonne soirée.
    Jean-Louis.
  • L'explication de l'exercice straightforward se trouve ici 
    (Théorèmes 29 et 30 pages 20/21).
    Bonne soirée à toi aussi


  • Chaurien
    Modifié (May 2022)
    Jean-Louis(s) a de la suite dans les idées. C'est en 2008 qu'il posait déjà la question :
    Le passage en question se trouve dans la deuxième édition du cours de Gaston Casanova, Mathématiques Spéciales, programmes du 21 janvier 1963, Tome premier, Algèbre linéaire, espaces-vecteurs, Belin, 1963 (vert), Chapitre III, p. 33.
    Gaston Casanova (1913-2009) a été un grand professeur, $~~$ qui laisse pas mal d'écrits encore utiles de nos jours, dont cinq $~~$ « Que Sais-je ? », et le traité dont il est question ici, avec ses deux éditions bien différentes (1956 et 1963), élégant dans sa concision. Une carrière qui inspire le respect. Il était communiste, mais personne n'est parfait ;).
     Casanova avait étudié probablement les questions de logique et de fondements parmi d'autres, il avait publié en 1947 un ouvrage de philosophie consacré aux mathématiques. Dans le cas qui nous occupe, il s'est laissé aller à une formulation que contestent les logiciens sourcilleux - espérons qu'ils seront d'accord entre eux. Son propos n'était pas de rédiger un traité de logique mais un cours de mathématiques, alors le plus important pour l'étudiant était de voir le lien qui existe entre relation d’équivalence et partition. Il est probable que les étudiants utilisateurs de ce traité n'ont pas été trop perturbés par ce détail, qui n'a pas une grande importance, finalement.

  • Jean--Louis
    Modifié (May 2022)
    Merci Martial et Chaurien. En fait j'ai remarqué cet axiome de Lusin bien après que j'ai fini mes études, comme quoi il ne m'avait pas perturbé !
    Cordialement.
    Jean-Louis.
  • En fait pour les étudiants on devrait peut-être présenter l'axiome du choix sous cette forme : "Toute relation d'équivalence admet un ensemble transverse".
    Exemple : on considère un lycée qui comporte une infinité de classes, on élit un délégué dans chaque classe, et personne n'est choqué quand on parle de l'ensemble des délégués.
  • Foys
    Modifié (May 2022)
    Martial
    On pourrait arbitrairement désigner le premier élève par ordre alphabétique dans chaque classe.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ca m'a donné une idée:
    vrai ou faux? Tout produit d'ensembles bien ordonnés admet lui aussi un bon ordre (sans axiome du choix bien sûr...).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : Oui, tu as raison, Il faudrait décréter que les élèves d'une même classe sont en quelque sorte indiscernables. Le bon exemple est celui des chaussettes : tu disposes d'une infinité de paires de chaussettes, et les deux chaussettes de chaque paire sont indiscernables. Alors le fait de pouvoir choisir une chaussette dans chaque paire (je crois qu'on l'appelle $2AC$) est beaucoup plus faible que AC, mais quand même indépendant de ZF.
    Pour ta question je ne sais pas trop. D'abord, en l'absence de AC il est possible que ton produit soit vide, auquel cas il est muni d'un bon ordre. Maintenant, s'il est non vide et si l'ensemble d'indices $I$ est bien ordonnable, tu y arrives en munissant le produit de l'ordre lexicographique (que j'ai la flemme d'écrire, mais tout le monde voit ce que je veux dire).
    Si $I$ n'est pas bien ordonnable, je ne pense pas que le produit cartésien le soit, mais je peux me tromper.
  • Je viens de me rendre compte que ce que j'ai écrit ci-dessus est très faux. Je ne sais pas bien localiser l'erreur dans ce raisonnement, mais si c'était vrai ça impliquerait que $\omega \times \omega \times ... \times \omega...$ ($\omega$ fois) est bien ordonnable. Or, ce truc peut être identifié avec $\omega^{\omega}$, et on sait bien que l'existence d'un bon ordre sur $\omega^{\omega}$ est une question indépendante.
    Sorry. Et du coup, @Foys, j'en sais encore moins sur ta question que ce que je pensais.
  • Foys
    Modifié (May 2022)
    @Martial Je pense que c'est le réflexe "un produit fini d'ordinaux" est bien ordonnable (par l'ordre lexicographique) qui nous induit en erreur: le raisonnement serait mettons "Soit $T$ non vide dans $\alpha \times \beta$ produit d'ordinaux; alors l'ensemble des $x\in \alpha$ tels qu'il existe $y\in\beta$ tel que $(x,y)\in T$ est non vide et possède un plus petit élément m, l'ensemble des $z\in \beta$ tels que $(m,z)\in T$ possède un plus petit élément $n$ et $(m,n)$ minore $T$". Ce raisonnement ne se généralise pas à un ensemble d'indexation quelconque $I$ (sauf s'il est fini), même si $I$ est un ordinal (comment gérer la situation où $I$ est limite).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Modifié (May 2022)
    En fait ton exemple répond à ma question par la négative (édité: non ce n'est qu'une réponse partielle mais c'est déjà ça. La question serait donc: est-ce que dans un univers qui vérifie (non AC), il y a toujours un produit d'ordinaux non bien ordonnable).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : tout ce que je peux te dire pour l'instant c'est que c'est une très bonne question !
  • marco
    Modifié (May 2022)
    Soit $E$ un ensemble. Si tout produit d'ordinaux est bien ordonnable, alors $2$ étant un ordinal, $2^E=P(E)$ est bien ordonnable. Soit $G$ l'ensemble des singletons inclus dans $E$. Pour tout ensemble non vide $F$ inclus dans $E$, soit $H$ l'ensemble des singletons appartenant à $G$, inclus dans $F$. Alors $H$ est un sous-ensemble non vide de $P(E)$, donc admet un plus petit élément $\{y\}$. On définit alors $\phi(F)=y$, on a alors $\phi(F) \in F$, donc on a une fonction de choix sur $E$.
    Donc on a montré "tout produit d'ordinaux est bien ordonnable" implique AC, qui est la contraposée.
  • Bien joué, @marco !
  • Simple et efficace @marco, bien vu!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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