Puissance d’une racine primitive

fifi21

Bonjour,

je suis tombé sur le résultat (à priori pas compliqué) qui stipule que si $x$ est une racine nieme primitive de l’unité et si $p$ est premier avec $x$, alors «$x^p$ est encore une racine nième primitive.

Or, même si la démonstration doit être bidon, je bloque. 

Par Bezout on a donc $ux+vp$=1, mais je ne vois pas à quel moment l’utiliser.

merci d’avance 

Calli

Bonjour,
Tu confonds $x$ et $n$. $p$ doit être premier avec $n$ (un nombre complexe $x$ premier avec un entier $p$, ça n'a aucun sens). Et c'est $n$ dans la relation de Bézout, pas $x$.

fifi21

Oui exact, j’ai mal recopié l’énoncé, désolé.
mais même avec cette correction, je ne vois pas comment, en utilisant la relation de Bezout, montrer que $x^p$ à la puissance n vaut 1.
je sais juste que $x$=$x^{pv}$

JLapin

@fifi21

Plutôt que de nous montrer une relation de Bezout, montre nous ce que tu as essayé pour vérifier la définition.

fifi21

Je cherche à montrer que $(x^p)^{n}=1$ et que pour tout $d<n$,  $(x^p)^{d}\neq 1$

Mais je ne vois pas à quel moment utiliser la relation de Bezout 

Math Coss

Si tu n'arrives pas à montrer que $(x^p)^n=1$, pas la peine d'aller chercher Bézout ou de pinailler sur « primitives ».

Au lieu de montrer que l'application $\Z/n\Z\to\mathbf{U}_n$, $d\mapsto(x^p)^d$ est injective (où $\mathbf{U}_n$ est le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité), tu pourrais montrer qu'elle est surjective. Comment traduire l'hypothèse « $x$ racine primitive » dans des termes semblables (surjectivité d'une application) ?

fifi21

Pour moi, $(x^p)^n=(x^{pn}=(x^n)^p=1$, mais dans ce cas je ne vois pas en quoi le fait que p est premier avec n intervient.

lourrran

n est premier avec p intervient pour le coté 'racine primitive'.
Ça veut dire quoi, primitive dans ce contexte ?

fifi21

Ce n’est pas la définition que j’ai cherché à vérifier plus haut ?

lourrran

Si, exact.
Tu as vérifié que $(x^p)^n = 1$,  tu as donc vérifié que $x^p$ est une racine n-ième de $1$.
Tu n'as pas utilisé le fait que $p$ est premier avec $n$, exact.
Mais tu n'as pas non plus vérifié que $x^p$ est une racine n-ième primitive de $1$. Et c'est dans cette partie là que l'information $n$ et $p$ premiers entre eux va intervenir.

fifi21

On est d’accord qu’il me faut utiliser une relation de Bezout entre n et p ?

lourrran

Tu as déjà beaucoup essayé cette piste, et tu n'as pas abouti. Il y a peut-être d'autres pistes plus efficaces.
Plutôt qu'essayer d'utiliser une propriété qui a été démontrée sur les nombres premiers 2 à 2, je commencerais par utiliser la définition.
a et b sont premiers entre eux ssi ...

Math Coss

Je ne suis pas d'accord avec @lourrran sur la nécessité d'abandonner Bézout et je ne suis plus d'accord avec moi sur l'idée qu'il est plus simple de passer par une surjectivité.

On a donc deux entiers $u$ et $v$ tels que $un+vp=1$. On se donne $d$ naturel non nul tel que $(x^p)^d=1$. On souhaite montrer que $n$ divise $d$ (ou bien, on se donne $d$ non nul minimal tel que... et on montre que $d=n$). Vu que $n$ est l'ordre de $x$, quelle relation s'agit-il de montrer ? Par ailleurs, en regardant $(x^p)^d=x^{pd}$ comme tu l'as fait plus haut, comment faire apparaître $pd$ à partir de la relation $un+vp=1$ ?

fifi21

J'ai tenté une autre piste, j'ai montré que si x est d'ordre n dans dans un groupe G, alors x^p est d'ordre n/(pgcd(p,n))
Ici comme p et n sont premiers entre eux, j'aurai que x^p est d'ordre n