Une intégrale difficile
Bonjour,
je n’arrive pas à terminer la preuve :
il s’agit de montrer que l’intégrale entre 0 et + l’infini de ln(cos^2x)/x^2= -Pi.
j’ai fait une intégration par parties mais en vain.
je n’arrive pas à terminer la preuve :
il s’agit de montrer que l’intégrale entre 0 et + l’infini de ln(cos^2x)/x^2= -Pi.
j’ai fait une intégration par parties mais en vain.
Merci de m’aider.
[Avec $\LaTeX$, c'est plus attirant.
AD] $$\int_0^{+\infty} \frac{\ln(\cos^2 x)}{x^2} dx = -\pi$$

Réponses
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Bonjour,
A quel niveau peut-on se placer ? Tu fais de l'analyse complexe?
Sinon, c'est une jolie illustration de l'emploi de la formule intégrale de Lobachevsky appliquée à $f(x)=\frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)}$
qui donne : $I=\displaystyle \int_0^\infty \frac{\ln(\cos^2(x))}{x^2} dx= \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx$.
On peut bien sûr montrer à la main cette égalité. Pour cela on découpe l'intégrale de 0 à l'infini en une somme d'intégrale sur $[k\pi,(k+1)\pi]$, on permute somme et intégrale et on utilise le développement de $\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x+n\pi)^2}$ pour $x\notin\pi\Z$.
L'intégrale $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2} \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx$ se calcule bien par IPP avec $u=\ln(\cos^2(x))$ et $v=- cotan(x)$ et on obtient finalement $I=0-2\times \frac{\pi}{2}=-\pi$. -
$x\rightarrow \left|\cos x\right|$ s'annule pour $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ce qui fait que l'intégrande devient infinie pour une infinité de valeurs de l'intervalle d'intégration.
Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Merci beaucoup Jnico, mais je n’arrive pas encore à voir pourquoi l’intégrale de 0 à l’infini devient de 0 à pi/2 car en posant X=x-kPi on aura X de 0 à Pi
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(Les calculs non justifiés, juste pour donner l'idée) Par parité, on a $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln(\cos^2(x))}{x^2} dx=2I=\sum_{n\in\Z}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\ln(\cos^2(x))}{x^2} dx$, puis changement de variable $x=t+n\pi$, on obtient $2I=\int_0^\pi \ln(\cos^2(t))\sum_{n\in\Z} \left(\frac{1}{(t+n\pi)^2}\right)dt$. Avec le développement du $\frac{1}{\sin^2(t)}$ qui fait quand même un peu de travail (mais c'est classique comme dans le doc que j'avais mis en pièce jointe), on obtient $2I=\int_0^\pi \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx= 2 \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx.$
La méthode proposée par Gebrane avec le calcul (en valeur principale) de $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx=2\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$ est aussi une excellente idée. Il faut de toute façon aussi un peu travailler pour cette méthode, soit par exemple avec le développement de la fonction cotangente, soit en utilisant la fonction Digamma.
Ce qui est marrant, c'est que pour le calcul de $\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$, on peut refaire un coup de la formule de Lobachevsky sous la forme $\int_0^\infty g(x) \frac{\sin(x)}{x} dx=\int_0^{\pi/2} g(x) dx$.
En fait ça dépend fortement du cadre dans lequel cet exercice est posé et surtout avec quels résultats utilisables. -
Bonjour
la méthode proposée par jnico et basée sur le développement en fractions du second degré
de $\frac{1}{sin^2x}$) est ingénieuse et donne en effet le résultat
pour répondre à l'objection de Fin de partie à propos de la convergence
de l'expression $\frac{-ln(cos^2x)}{tanx}$ calculée de 0 à $\frac{\pi}{2}$
on peut décomposer cette expression en 2 fractions $- \frac{ln(1+sinx)}{tanx} - \frac{ln(1-sinx)}{tanx}$
calculées sur les mêmes bornes et dont la convergence vers 0 est certaine
Cordialement -
@Jean Lismonde: Mon objection est, qu'en général, dans la théorie de l'intégrale de Riemann, les valeurs de la variable d'intégration qui font "exploser" l'intégrande ne sont pas à l'intérieur de l'intervalle d'intégration, mais au bord dudit intervalle.Pour le dire autrement, je ne sais même pas si on peut parler d'intégrale impropre pour ce truc.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Je n'ai pas compris l'allusion de jnico à l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$ car l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\tan(x)}{x} dx$ est déjà clairement divergente.
En revanche l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\ln(\cos^2 x)}{x^2} dx$ est bien convergente. -
Bonjour
l'intégrale $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{tanx}{x}dx$ est en effet clairement divergente
car sur la borne supérieure une primitive de tan(x) soit -ln(cosx) tend +oo
mais dans l'intervalle d'intégration [0 ; +oo[
sur les pôles $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{3\pi}{2}$ ; $\frac{5\pi}{2}$........$\frac{(2n-1)\pi}{2}$
il existe à chaque fois compensation de divergence dans l'intégration (entre - oo et +oo)
les discontinuités de la fonction primitive sont en quelques sortes digérées dans l'intégration
et l'intégrale $\int_0^{+oo}\frac{tanx}{x}dx$ est bien égale à $\frac{\pi}{2}$
Cordialement -
Et $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n =0$, c'est ça ?
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Ce qu' a dit JL est démontrable . La vp de l' intégrale vaut bien pi/2 . Il faut savoir définir la vp lorsqu'on a une infinité de discontinuité. Pour les détails je passe mon tour.
Ajout
@etanche bonjour,
puisque sur tu es le roi des liens. Peux-tu nous trouver stp un lien qui calcule la vp de $\int_0^{+oo}\frac{tanx}{x}dx$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@gebrane : personnellement je ne serais pas gêné pour définir la valeur principale même lorsque les points posant problème sont en nombre infini, pourvu que leur ensemble n'ait pas de point d'accumulation (sans quoi on aurait du mal à avoir un $\varepsilon$ commun à tous), ce qui est bien le cas ici. En cas de point d'accumulation, il faudrait étendre la définition, peut-être en prenant un $\varepsilon$ distinct pour chaque point. Bon j'avoue que je ne pratique pas la VP en temps normal !
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Ah non ! J'en ai fait étant petit, j'en ai utilisé dans ma thèse (mais pas de VP pour le coup), mais je reste au niveau de simple utilisateur !
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On retrouve Jean Lismonde et ses alter-mathématiques
.
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Je peux proposer ce calcul en exercice si quelqu'un se charge des details sans me solliciterLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Grand Merci à tous, particulièrement à Jnico, l’idée de résolution est géniale, l’explication aussi.En tout cas, je ne serais jamais arrivée à calculer cette intégrale toute seule. C’était un défi entre les étudiants qu’ils appelaient:” musculation en calcul intégral”.
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Bonjour
notre ami Chaurien parle d'alter-mathématique lorsque j'évoque les compensations de divergence dans une intégration
non il s'agit d'un raisonnement simple de limites ; prenons l'exemple trivial :
$I = \int_0^2\frac{1}{x - 1}dx$
la fonction à intégrer subit dans l'intervalle [0 ; 2] une discontinuité en x = 1
mais qui fait l'objet dans l'intégration d'une compensation de divergence de chaque côté du pôle x = 1
en effet I = limite pour t tendant vers 0 de $[ln|x-1|]_0^{1-t}$ + limite pour t tendant vers 0 de $[ln|x-1|]_{1+t}^2$
soit encore I = limite de ln|t| - limite ln|t| lorsque t tend vers 0
soit encore $I = ln\frac{t}{t} = ln1 = 0$
je signale que l'intégrale paramétrée $I_n = \int_0^{+oo}\frac{1}{(1-x)(2-x)(3-x)........(n-x)}$
est parfaitement définie (il existe n compensations de divergence autour des n pôles dans l'intégration)
son résultat dépend de n suivant une expression assez lourde
pour n = 3 alors $I_3=\int_0^{+oo}\frac{1}{(1-x)(2-x)(3-x)}dx= \frac{1}{2}ln\frac{3}{4}$
Cordialement
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