Dans le triangle de Pascal
dans Arithmétique
$x,y,z$ sont trois termes consécutifs d'une ligne du triangle de Pascal.
Montrez que le nombre $2y^2+xy-xz$ divise $2xz^2+yz^2-y^2z$.
Réponses
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Bonjour
modulo une erreur de calcul, il suffit de prouver que $p+1$ et $p+2$ divisent $\dbinom{n}{p}(n-(p+1))$?
Cordialement
Paul -
En fait, si $x, y, z, t$ sont quatre coefficients binomiaux consécutifs,
$$\dfrac{2xz^2+yz^2-y^2z}{2y^2+xy-xz}=t$$ -
Exactement !
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J'ai trouvé comme Cidrolin et depasse. On peut réécrire la propriété sous la forme :
si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une ligne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z-y)(xt+yz)=2(ty^2-xz^2)$.
Cette égalité est inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, ce qui s'explique par la symétrie du triangle de Pascal.
Il existe une propriété analogue pour les colonnes (seuls deux signes changent) :
si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une colonne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z+y)(xt+yz)=2(ty^2+xz^2)$.
Cette égalité est également inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, mais je ne vois pas d'explication simple.
Par symétrie du triangle de Pascal c'est aussi valable pour quatre entiers consécutifs sur une diagonale descendante du triangle de Pascal.
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Merci jandri pour ces extensions.
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Salut.
On peut tenter pour la démonstration une méthode calculatoire avec une récurrence, sachant que les quatre entiers consécutifs d'une ligne du triangle de Pascal s'obtiennent à partir des quatre entiers de la ligne de dessus., qui eux vérifient l'hypothèse de récurrence.
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Bonjour!
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