Ordre de $1+p$ dans $\Z/p^k\Z$

tarantababu

Bonjour à toutes et à tous

Et merci à celles et ceux qui prennent le temps de me lire et de répondre.

Ma question concerne la proposition I.7.6 page 25-26 du "Cours d'Algèbre" de Daniel Perrin :

$$(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^* \simeq \mathbb{Z}/p^{k-1}(p-1)\mathbb{Z}$$

Après avoir montré que $(1+p)^{p^k}=1+\lambda p^{k+1}$ dans $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$, on montre que l’ordre de $1+p$ est $p^{k-1}$ en disant que $(1+p)^{p^{k-1}}=1$ et que $(1+p)^{p^{k-2}}\neq 1$.
Ne devrait-on pas plutôt montrer que $(1+p)^{p^{k-1}-1}\neq 1$ ?

Merci.

JLapin

Vu la première congruence égale à 1, on en déduit que l'ordre cherché est un diviseur de $p^{k-1}$.

Vincent

La relation $(1+p)^{p^{k-1}}=1$ te dit que l'ordre de $1+p$ est un diviseur de $p^{k-1}$ et donc de la forme $p^\alpha$ avec $0 \leq \alpha \leq k-1$.

De plus, si $(1+p)^{p^\alpha}=1$ alors pour tout $\beta \geq \alpha$, on a $(1+p)^{p^\beta}=  [(1+p)^{p^\alpha}]^{p^{\beta - \alpha}}= 1$ ce qui montre bien qu'il suffit de vérifier que $(1+p)^{p^{k-2}} \neq 1$.

tarantababu

Mais oui suis-je bête ! Je n'y étais pas.

Merci à tous les deux !