Somme avec des sinus carrés

Bonjour à tous,
J'aimerais trouver un moyen le plus simple possible de calculer la somme
$$\sum_n \dfrac{1}{n^2}\sin^2(n\pi x).$$
J'ai trouvé le résultat $\frac{\pi^2}{2} x(1-x)$ en calculant les coefficients de Fourier de $x(1-x)$ et en linéarisant le $\sin^2$, mais je me demande s'il n'y a pas un moyen plus simple de faire, qui ne demande pas de connaître le résultat. En utilisant un théorème connu, ou que sais-je.
Merci d'avance :smile:

Réponses

  • sevaus
    Modifié (May 2022)
    Tu peux dériver par rapport à x

    Edit: je n'avais pas vu que la somme était infinie donc je ne pense pas que ça marche finalement
  • Merci ! Si je dérive par rapport $\pi x$ (pour simplifier les calculs) la somme j'obtiens $\sum_n \frac{2}{n} \sin(2n\pi x)$, et je reconnais une série de Fourier associée aux fonctions de type $f(x)=x$ sur certains intervalles, et en réintégrant je remonte à ma fonction de départ. C'est ça ?
    Si oui c'est bien, mais je me demandais si on ne pouvait pas conclure encore plus vite en utilisant des théorèmes comme Parseval.
    Mais peut-être que je confonds et qu'il faut en passer par les calculs haha.
  • Aller plus vite qu'une solution qui utilise la connaissance du résultat me semble difficile pour ce calcul.
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