Déplacement borné de trois pièces

Domi
Modifié (April 2022) dans Géométrie
Bonjour à tous :)
Voici mon problème.

On bouge successivement trois pièces A, B, C de rayon 1 dans un plan de façon à ce que la pièce déplacée passe entièrement entre les deux autres puis continue son mouvement en évitant alors tout contact avec la ligne des centres de ces deux pièces.

Est-il possible de répéter ces mouvements à l’infini dans un domaine borné ? J’ai tendance à croire que non mais sans aucune preuve. J’illustre avec un exemple où la fuite en avant est évidente mais ce n’est qu’un exemple.


Merci d’avance pour les réponses 😊

Domi

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    Salut,
    je n’ai pas bien compris les règles pour les déplacements. 
    Dom 
  • Domi
    Modifié (April 2022)
    Je suis rarement clair :)

    Les pièces se déplacent tour à tour (de façon cyclique). La pièce qui se déplace doit passer entre les deux autres et traverser entièrement la frontière. Après elle fait ce qu'elle veut à condition de ne jamais mordre la droite passant par les centres des deux autres pièces.  Les mouvements sont indépendants des précédents mais se répètent indéfiniment. Peuvent-ils avoir lieu dans un lieu confiné ?
    Domi
  • Rien compris. La frontière c'est la ligne des centres des deux autres pièces ? Tu peux faire un dessin pour expliquer le déplacement ?
  • En fait le mouvement des pièces n'est jamais imposé , les seules contraintes sont que les pièces doivent se déplacer à tour de rôle et indéfiniment , toujours dans le même ordre ABCABC... et que chaque pièce déplacée doit passer complètement entre les deux autres et poursuive sa trajectoire dans le demi-plan bordé par la ligne des centres de ces deux pièces . C'est clairement possible mais dans un domaine borné ?


    Domi
  • Ludwig
    Modifié (April 2022)
    D'accord. Et si j'ai bien compris :smile:, c'est possible : quand une pièce a traversé la frontière on peut s'arranger pour la positionner pas trop loin de la ligne des centres, mais pas entre les deux autres pièces, de façon à "faire tourner" le tout au fur et à mesure des déplacements successifs. Je l'ai testé à la main avec trois pièces de un euro.
  • Domi
    Modifié (April 2022)
    Attention, le problème est facile si on fait  tourner deux pièces autour d'une troisième mais certainement beaucoup moins si le choix de la pièce à déplacer suit un cycle d'ordre 3.
    Domi
  • Je crois que tu as oublié de dire que la pièce doit passer entre les deux autres directement, sans faire le tour de l'une d'elles, c'est-à-dire sans franchir la ligne des centres en dehors de cet entre-deux non ? Car si on peut lui faire faire ce tour avant de passer entre alors ce que tu demandes est possible, sinon effectivement cela doit être impossible ad libitum si l'espace où elles se meuvent est borné.
  • Oui en effet sinon chaque pièce peut regagner sa place à chaque étape et le problème n'a plus d'intérêt . Après il faut trouver un argument pour justifier l'impossibilité du mouvement perpétuel en milieu borné .

    Domi
  • C'est possible : 


  • Ludwig
    Modifié (April 2022)
    Merci ! Et en réponse à Tonm mon animation correspond bien à une boucle. Certes elle n'est pas terminée (puisque c'est au tour de la balle orange alors que je suis parti de la bleue) mais ce n'est pas un problème : ce qui est possible à partir de la balle bleue l'est aussi à partir de la balle orange, et de la verte ! Donc 8 fois 3 vingt-quatre mouvements en tout.
  • Clap Clap.
    Et merci ... de ma part et sans doute de tous ceux qui essayaient de montrer le contraire!
    Comme quoi ça vaut le coup de faire quelques expérimentations avant de commencer.
    Après je bloque.
  • Tonm
    Modifié (April 2022)
    Bonsoir, oui ça y est,  peut être si on exige à ce que le déplacement de la boule soit à tour cyclique en une ligne droite la réponse serait la même. Cordialement.
    Edit en fait avec des segments c'est possible aussi ça donne comme des colliers polygones etc.
  • Domi
    Modifié (April 2022)
    Sur un autre site Verdurin a trouvé une solution avec seulement six positions pour les pièces  :)

    Domi
  • La question suivante est bien sûr de déterminer la taille du plus petit disque dans lequel ces mouvements sont permis .

    Domi
  • Une amélioration de la méthode Verdurin :


    Domi
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