Cercle de Conway

 John Horton Conway

Cercle de Conway — Wikipédia (wikipedia.org)

Évidemment John Horton Conway a trouvé d'autres belles choses en mathématiques et évidemment si je poste ce sujet-là précisément à propos de ce résultat-là et non à propos d'un autre de ses résultats en mathématiques c'est parce que je suis impressionné par celui-là en particulier et aussi un peu à cause du fait qu'il est décédé depuis le 11 avril (2020)

En fait le mari de ma frangine est mort un 22 avril et ça m'a rappelé cela car mon ex-beau frère aurait bien aimé connaître le cercle de Conway.
Je savais ce qu'il aimait et je savais ce qu'il n'aimait pas.
Ma frangine est très joueuse, un peu à la manière de mon chat avec les souris (je l'aime énormément donc désolé si ça déborde un peu)

Réponses

  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (April 2022)
    Bonjour,
    j'ai fait un lien avec Eugène Catalan
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol43.html
    puis
    reductio ad absurdum : l'hexagone de Catalan et le cercle de Conway...
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Je me pose la question suivante. Soit un triangle rectangle dont les côtés ont des longueurs entières, le rayon de son cercle de Conway peut-il être aussi de longueur entière? Je pense que non.
  • Chaurien
    Modifié (April 2022)
    C'est incroyable, et réjouissant, de constater qu'on fait encore des découvertes en géométrie élémentaire, dans la géométrie du triangle ! Jean Dieudonné, malgré son génie mathématique indiscutable, avait bien  tort de décréter la mort du triangle ...
    Pour contribuer à répondre à Boécien.
    Soit un triangle rectangle dont les côtés vérifient $a^2=b^2+c^2$. La notice wikipedia
    donne le rayon $w $ de son cercle de Conway, et si je n'ai pas commis de faute de calcul, je trouve : $w^2=b^2+c^2+bc$.
    Nous sommes donc face au système diophantien : $w^2=b^2+c^2+bc$, $a^2=b^2+c^2$.
    Bon courage...


  • En posant $a=u^2+v^2$, $b=2uv$ et $c=u^2-v^2$ $(u>v)$ le demi-périmètre du triangle est égal à $u(u+v)$ et le rayon du cercle inscrit à $v(u-v)$. Et le carré du rayon du cercle de Conway s'écrit alors comme une somme de deux carrés d'entiers : $w^2=(u(u+v))^2+(v(u-v))^2$.
  • Joli Ludwig.
  • Ludwig
    Modifié (April 2022)
    Il y a des solutions : une petite recherche informatique donne par exemple $u=52$ et $v=17$ ou bien encore $u=69$ et $v=35$.
    Ces deux-là correspondent au triplet pythagoricien primitif $a=2993$, $b=1768$ et $c=2415$.
  • Mon intuition était donc mauvaise. Il doit donc y avoir une possibilité d'exhiber une famille de solutions, mais ça doit être coton.
  • Ludwig
    Modifié (April 2022)
    La décomposition de Berggren du triplet $(2415,1768,2993)$ donne $\Psi_3\circ\Psi_1^{16}(3,4,5)$ (voir ici pour les définitions des $\Psi_i$, et pour celles des matrices $R_i$). Curieux (ou pas?) cette puissance seize.
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (April 2022)
    Bonjour,
    j'ai réactualisé ma référence...désolé...
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol43.html
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Merci Jean Louis Ayme
    J'ai pas osé le dire je sais que tu est occupé en géométrie et le prob 
    les journées ont 24h
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