Deux angles droits et trois côtés de même longueur (collège 5e)

Dom
Dom
Modifié (April 2022) dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Un théorème que je trouve intéressant.
Quel que soit le quadrilatère non croisé, s'il possède deux angles droits et trois côtés de même longueur, alors c'est un carré*.
Édit* : j’avais écrit « rectangle » au lieu de « carré ».
(message de @fm_31)

D'abord on examine qu'il y a plusieurs cas (j'en trouve quatre).
Puis chaque cas se démontre me semble-t-il d'une manière différente.
Pour l'un d'eux, je trouve cela difficile sauf si quelque chose m'a échappé : je dessine volontairement une figure "croquis".
Difficulté : en 5e on connaît juste des rudiments sur les angles alternes-internes et les parallélogrammes (et chasse aux angles).
Cordialement.
Dom

Réponses

  • Ne peut-on pas dire que
     * $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
     * Soit $D'$ le projeté de $B$ sur $(CD)$, alors $ACD'B$ est un rectangle.
     * Comme $BD=AC=BD'$, on en déduit $D=D'$ ?
  • Oui. C’est la preuve que j’ai (on récrit « projeté » en « le point tel que… »). 
    Ce sont ces raisonnements qui sont très rares au collège. Je parle de l’introduction d’un point pour démontrer qu’en fait il était déjà là. 
    De mémoire, la démonstration de la réciproque du théorème de Pythagore se fait comme ça, au collège. 

    Pour les autres cas, la preuve est plus directe (tout est là). 
  • Et un rectangle avec 3 côtés égaux n'est il pas un carré ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    Un rectangle oui. 
    Mais là on n’a que deux angles droits. 
    (j’ai certainement mal compris la réponse…)
    ÉDIT : ha oui, tu as raison, le théorème se termine bien par « c’est un carré ». Je corrige. 

    édit : on peut évoquer le résultat (programme de 6e) qui dit que si deux droites sont parallèles alors la distance la plus courte (entre l’une et l’autre) est celle et seulement celle des segments joignant l’une à l’autre perpendiculairement. 
    Ainsi, le côté [BD] ne peut qu’être perpendiculaire aux deux côtés parallèles.
    C’est peu convaincant, me dis-je. 
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