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Faulhaber-Knuth

Modifié (April 2022) dans Algèbre
Bonjour,

Voici une courte note sur un sujet éculé : les sommes $\sum_{k=1}^n k^p$. Tout retour est le bienvenu.

Sommation itérée d'une puissance impaire des premiers entiers - Archive ouverte HAL (archives-ouvertes.fr)

M

Réponses

  • Je me permets un petit tour d'ascenseur.
  • Modifié (September 2022)
    Bonjour
    Il est bien connu que $$\sum_{k=1}^n k^3 = \binom{n+1}{2} ^2
    $$ Il est moins connu que $$
    \sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^{k} \ell^3 = \frac{3}{10}\left(n^2+2n+\frac{1}{3}\right)  \binom{n+2}{3}
    $$Dans la note ci-dessus, j'explique comment généraliser en$$\sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^{k_1} \cdots \sum_{k_r=1}^{k_{r-1}} k_r^{2i-1} = \text{un polynôme en } \left(n+r\right)n \text{ à coefficients rationnels} \times \binom{n+r}{r+1}
    $$C'est vieux (Faulhaber, première moitié du 17ème siècle). Il semble que la première démonstration rigoureuse soit due à Knuth (années 90), pour laquelle il introduit la notion de fonction $r$-réflexive. En piquant des idées dans son propre article, j'ai l'impression de faire plus rapide et plus explicite que lui.
    Edit : correction. Merci @jandri.
  • Modifié (September 2022)
    Magnéthorax a dit :
    Il est moins connu que $$
    \sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^{k} \ell^3 = \frac{3}{10}\left(n^2+2n+\frac{1}{3}\right)  \left(\sum_{k=1}^n k \right)^2
    $$
    Il y a une erreur dans cette formule, je trouve $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{20}\left(n^2+2n+\dfrac{1}{3}\right)$.
  • Merci de ton retour. Dans la note, cette erreur n'est pas commise. Je corrige dans le message précédent.
  • Modifié (September 2022)
    Effectivement c'est bien cela que donne la note que tu as écrite.
    Ta démonstration est très courte et élémentaire, j'avais seulement été un peu découragé en voyant l'expression de $\Pi_{i,r}$ en fonction des $a_{i,j}$ et des $P_{i,r}$ eux-mêmes un peu compliqués.
    Mais pour une application numérique (par exemple $r=3$ et $i=2$ ou $i=3$) le résultat est simple.
  • Modifié (September 2022)
    Ce qui m'échappe un peu, c'est que les polynômes binomiaux $\left(\binom{X+j-1}{2j-1}\right)_{1\leq j \leq i}$ et les $a_{i,j}$ pour décomposer $X^{2i-1}$ sont bien mentionnés par Knuth dans son article, mais il ne les utilise pas pour démontrer le résultat de Faulhaber. Je doute qu'il soit passé à côté.
  • Je ne connaissais pas ces polynômes binomiaux et je n'ai pas trouvé les $a_{i,j}$ sur l'OEIS.
  • Modifié (September 2022)
    Pour les entiers positifs $a_{i,j}$, Knuth renvoie à Riordan (Combinatorial identities, 1968, p. 213). Ce dernier les appelle les nombres factoriels centraux de seconde espèce. Knuth donne leur fonction génératrice. En fouillant, il existe sans doute une interprétation combinatoire de ces $a_{i,j}$.
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour,
    Dans la note en pièce jointe, mieux rédigée et plus complète que la précédente, je démontre une propriété de l'endomorphisme
    $$
    \Sigma :
    \left\{
    \begin{array}{ccc}
    \mathbf{Q}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbf{Q}\left[X\right]\\
    P & \longmapsto & \left(n\in \N \mapsto \sum_{k=1}^n P\left(k\right)\right)
    \end{array}
    \right.
    $$
    Plus précisément, cela concerne l'itération de $\Sigma$. Le résultat en question date de la première moitité du 17ème siècle ! Je pense que la première démonstration remonte aux années 1990, ce qui est sûrement dû à l'oubli plutôt qu'à la difficulté.
  • Bonjour

    Je confirme le résultat de Jandri concernant la somme S(n) de Magnétorax, somme que l'on peut écrire :

    $S(n) = \Sigma_{k=1}^{n}[\frac{k(k+1)}{2}]^2 = \frac{1}{4}\Sigma_1^nk^4 + \frac{1}{2}\Sigma_1^n.k^3 + \frac{1}{4}\Sigma_1^nk^2$

    et en utilisant les formules de sommation bien connues, il vient 

    $S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)}{120} + \frac{n^2(n+1)^2}{8} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
    et après réduction et factorisation ultime il vient

    $S(n) = \frac{n(n+1)(n+2)(3n^2 + 6n + 1)}{60}$

    remarque sur les polynômes factoriels (ici prospectifs et au carré)
    ils interviennent assez souvent en algèbre et analyse
    en particulier dans la détermination des formules de sommation $S_p(n)$
    avec $S_p(n) = 1 + 2^p + 3^p + .............+ n^p$
    par exemple pour $S_{p-1}(n)$ et les polynômes factoriels rétrospectifs en p entier naturel 

    $$(n+1)^p = pS_{p-1}(n) + \frac{p(p-1)}{2!}S_{p-2}(n) +........+\frac{p(p-1)(p-2).....(p-k+1)}{k!}S_{p-k}(n) + .....+ pS_1(n) + n + 1$$

    Faulhaber les a étudiés précisément début 17ème siècle
    mais Viète fin 16ème siècle, mathématicien français et ministre du roi Henri III 
    avait déjà déterminé les formules de sommation (qui intéressent notre ami Magnétorax) jusqu'à p = 10

    on peut démontrer que ces formules de sommation à partir de p = 4
    ne sont pas factorisables complètement en binômes affines
    mais le terme $\frac{n(n+1)}{2}$ apparaît toujours devant en facteur

    d'autre part il existe une autre relation de récurrence entre les $S_p(n)$ par l'intermédiaire des nombres Q de Newton  soit 
    $Q_pS_p(n-1) + Q_{p-1}S_{p-1}(n-1) + ...............+ Q_1S_1(n-1) + Q_0S_0(n-1) = 0$

    enfin il faut signaler les liens de $S_p(n)$ avec les polynômes de Bernoulli $A_{p+1}(x)$ de variable x réelle et d'indice p + 1
    soit $S_p(n) = \frac{A_{p+1}(n+1) - A_{p+1}(0)}{p+1}$

    Cordialement

  • Modifié (November 2022)
    @jean lismonde : ce que j'écris concerne l'itération de la sommation, ce qui semble moins connu que la sommation. Et pour cause.
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