Perles, colliers et congruences
Bonjour
Règles
On fabrique un collier de longueur $n$ avec des perles de deux types. Les perles de type $A$ sont de diamètre $1$, celles de type $B$ ont $5$ pour diamètre. Deux colliers qui se déduisent l'un de l'autre par une rotation (ou une symétrie) sont considérés comme distincts. On note $u_n$ le nombre de colliers de longueur $n$.
Exemple $n=11$
Il y a un collier sans perle $B$.
Il y a onze colliers avec une seule perle $B$ Elle occupe les places $1$ à $5$, ou de $2$ à $6$ ou de ....$11$ à $4$.
Il y a onze colliers avec deux perles $B$. On choisit la place de la perle $A$.
Conclusion $u_{11}=23$.
Question
Montrez que si $p>5$ est premier alors $u_p \equiv 1 \pmod{p}$.
Réponses
-
Je pense avoir démontré plus généralement que si les perles de type $A$ sont de diamètre $1$ et celles de type $B$ sont de diamètre $d$ avec $d>2$ alors pour tout nombre premier $p$ tel que $p>d$ le nombre de colliers de longueur $p$ est congru à $1$ modulo $p$.
-
Bravo jandri. On peut même prendre $d=2$, dans ce cas $u_n=L_n$ (nombre de Lucas).On retrouve $L_p\equiv 1 \pmod{p}$, pour tout premier.
-
Merci pour ce lien avec les nombres de Lucas. J'ai écrit $d>2$ mais je voulais écrire $d\geqslant2$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres