Complétude de $L^1$ pour $\Vert .\Vert_\infty$ ?

fifi21
Modifié (March 2022) dans Analyse
Bonjour, 
tout est dans le titre, j'ai trouvé cette question dans une fiche de td et j'ai envie de répondre que non, mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple ... OU alors je suis complètement à coté et on a bien la complétude, dans ce cas je ne vois pas pourquoi :/
Merci.

Réponses

  • Une fonction de $L^1$ n’est pas bornée en général, donc la norme infinie n’est pas correctement définie sur $L^1$.
  • Parfois on précise l’ensemble, non ?
    $L^1$ tout seul, est-ce par convention $L^1(\mathbb R)$ ?
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (March 2022)
    Je ne sais pas si c’est l’usage, mais j’avoue que sans précision, j’ai pensé qu’il s’agissait de $L^1(\R)$.

    Il est vrai que l’énoncé aurait un sens avec l’espace analogue pour les suites.
  • Oui ou bien le classique $L^1([0;1])$. 
    Mais en regardant ici et là, sans précision, c’est bien $\mathbb R$ l’intervalle d’intégration. 
  • Oui c’est bien sur R que la question est posée 
    merci
  • Et pour l'espace des suites la réponse est non.
  • fifi21
    Modifié (March 2022)
    Y a-t-il un contre-exemple valable sur R et pas sur [0,1] ou vice versa ?
  • En fait j’ai confondu…

    Je pensais à l’espace des fonctions continues (éventuellement continues par morceaux) sur [0;1] et intégrables. Oublions… oublions…

    Mais ici, même $L^1([0;1])$ contient des fonctions non bornées donc il n’est pas pertinent de parler de $||.||_{\infty}$ pour les fonctions de cet espace. 
  • Je pense qu'on parle ici de manière sous-entendu de la complétude de $L^1 \cap L^\infty$ pour $\|\cdot \|_\infty$.
  • Et du coup pour cet espace, comment démontrer ou non qu’il est complet ?
    merci 
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (March 2022)
    Tu peux par exemple considérer la suite de fonctions définie pour tout $n\in\N$ par
    \[\forall x\in\R,\quad f_n(x) = \dfrac{\chi_{[-n,n]}(x)}{1+|x|}.\]
    Il n'est pas difficile de montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy dans $(L^1(\R)\cap L^{\infty}(\R),\|\cdot\|_\infty)$, mais qu'elle ne converge pas.

    L'idée est simple : tu prends une fonction dans $f\in L^\infty(\R) \setminus L_1(\R)$ et tu la tronques sur le segment $[-n,n]$ pour obtenir une fonction $f_n\in L^\infty(\R) \cap L^1(\R)$ pour tout $n\in\N$.

  • Merci pour votre exemple, mais je ne suis pas sûr de comprendre..
  • Qu'est ce que tu ne comprends pas ?
  • fifi21
    Modifié (March 2022)
    lorsque vous expliquez « l'idée simple"
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