Intersection d'idéaux

jaccuzzi

Bonjour à tous

Considérons un idéal $I$ de polynômes multivariés et soit $f$ un polynôme. Existe-t-il une méthode (un algorithme) permettant [de savoir] si $I$ contient un multiple non nul de $f$ ?

Merci à vous

gerard0

Bonjour.

S'il s'agit d'un même anneau de polynômes, la réponse est évidente. La définition de "idéal" dit que les multiples de $f$ par n'importe quel élément de $I$ sont dans $I$.

Ta question n'est-elle pas autre ?

Cordialement.

b.b

Salut Gérard
Jaccuzzi veut un algorithme qui permette de vérifier si $I\cap (f)\ne \{0\}$ (d'où le titre du fil). Le polynôme $f$ n'appartient pas forcément à $I$. Si $I=(x^2)\subset k[x,y]$ et $f=x$, le polynôme $f$ n'appartient pas à l'idéal $I$, mais son multiple non nul $x^2$ y appartient.

Maxtimax

b.b. : la remarque de Gérard est que dans un anneau intègre, deux idéaux non nuls $I,J$ ont forcément une intersection non nulle: si $i\in I\setminus\{0\}, j\in J\setminus\{0\}$, alors $ ij  \in I\cap J \setminus\{0\}$. 

Un anneau de polynômes sur un anneau intègre est bien entendu intègre.

Math Coss

Peut-être qu'il y a une faute de frappe et qu'il faut lire puissance au lieu de multiple. Il s'agirait de calculer le radical de l'idéal : ça a un sens, en lien avec le Nullstellensatz par exemple.

b.b

OK, j'ai mal lu. Désolé, Gérard ! Ce serait bien que Jaccuzzi précise sa demande, le sujet est intéressant.

gerard0

Oui, j'ai posé d'ailleurs la question "Ta question n'est-elle pas autre ?", à laquelle on attend une réponse.

Cordialement.