Majoration d'une intégrale

iotala

Bonjour,

J'ai du mal à prouver la majoration de cette intégrale :

$$ \left| \int_0^1 t^n \arctan(t) \, \mathrm{d}t\right| \leq \frac{\pi}{4(n+1)}$$

Je me suis laissé tenté par une preuve par récurrence mais l'hérédité est un peu raide. J'ai envisagé aussi une somme de Riemann mais je n'ai pas eu plus de succès. L'intégration brute donne un résultat très approchant sur Wolfram.

Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce ?

noix de totos

Les valeurs absolues sont inutiles ici, et, sur $\left[ 0,1 \right]$, on a $0 \leqslant \arctan(x) \leqslant \frac{\pi}{4}$.

iotala

J'avais pensé à ça mais ensuite si je pose $0 \leq t^n \leq 1$ et je que multiplie les deux inégalités, je me retrouve avec $ 0 \leq t^n arctan(x) \leq \frac{\pi}{4}$ qui du coup est un encadrement un peu trop large, je n'ai pas le $(n+1)$ en dénominateur ??

JLapin

Garde $t^n$ justement.

iotala

Très bien donc j'obtiens $0 \leq t^n \arctan(t) \leq \frac{\pi}{4} t^n$ soit $\int_0^1 t^n \arctan(t) dt\leq \int_0^1 \frac{\pi}{4} t^n dt$ soit le résultat attendu... Mais pourquoi ne l'ai je pas vu !! Merci beaucoup