Décomposition de Dunford

BMaths
Modifié (March 2022) dans Algèbre
Bonjour,
je travaille sur la démonstration de la décomposition de Dunford et cherche à comprendre un passage. Avec des notations entendues, j'ai montré que : 

 $E=\oplus F_k,\quad$ avec $F_k=\ker(f-\lambda_k)^{\alpha_k}$

J'ai montré que les projecteurs $p_k$ associés à cette écriture sont des polynômes en $f$. Ok.
Je dois maintenant montrer que le $d=\lambda_1p_1+\cdots+\lambda_mp_m$ et $n=u-d$ est solution. Il est écrit que : "$d$ est diagonalisable car toute base de $E$ adaptée à la somme directe précédente est formée de vecteurs propres". C'est le passage que je n'ai pas compris.

Je considère $B_j=(u_j)_{j\in I_j}$ une base de $F_j$ et $B$ la base obtenue en accolant ces premières bases. 
Soit $x\in E$.
On peut écrire : $x=\sum_{i=1}^mx_i$ avec $x_i=\sum_{i\in I_j}a_iu_i$.
Donc : $d(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{i\in I_j}a_id(u_i)$.
Et donc : $d(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{i\in I_j}a_i\lambda_ju_i$.
Soit enfin : $d(x)=\sum_{i=1}^m\lambda_j\sum_{i\in I_j}a_iu_i=\lambda_j x$.
Je ne suis pas complètement convaincu par mes notations. Est-ce correct ?
D'avance merci.

Réponses

  • skazeriahm
    Modifié (March 2022)
    Soit $B=(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$ adaptée à la décomposition $E=\oplus F_k$ et soit $i \in I$, de sorte que $e_i$ appartient à l'un des $F_k$.
    Ainsi par définition des projecteurs $(p_j)$,  $d(e_i)=\lambda_k e_i$.
    Donc $B$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres de $d$.
  • gerard0
    Modifié (March 2022)
    Bonjour.
    Je ne comprends pas ton calcul, il n'y a aucune raison qu'un x quelconque soit vecteur propre. Plus gênant, il y a à la fin un $\lambda_j$ dont on ne sait pas d'où il sort, j n'est pas défini (c'était un indice dans les sommes, donc une variable liée à la somme). Reviens à la définition de "d est diagonale".
    Cordialement.
  • A noter : $j$ n'est même pas pris comme indice, c'est i qui est écrit 2 fois !! Donc gros problème d'écriture.
  • skazeriahm a dit :
    Soit $B=(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$ adaptée à la décomposition $E=\oplus F_k$ et soit $i \in I$, de sorte que $e_i$ appartient à l'un des $F_k$.
    Ainsi par définition des projecteurs $(p_j)$,  $d(e_i)=\lambda_k e_i$.
    Donc $B$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres de $d$.
    Je vois l'idée.
    Inutile de trop préciser les notations, ainsi c'est plus clair.
    Merci !
  • Plutôt Jordan-Chevalley
    1:49

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