Trouver une paramétrisation holomorphe

Calli

Bonjour,
Soit un domaine ouvert $\Omega\subset\Bbb C$ de la forme suivante : 



Plus précisément, il est de la forme $\Omega = \{z=x+iy \mid (x\in {]0,L_1]} \text{ et } y\in {]0,h(x)[}) \text{ ou } ( x\in {[L_1,L_2[} \text{ et }y\in {]0,H[})\}$ avec $0<L_1<L_2$, $H>0$ et $h:[0,L_1]\to \Bbb R_+^*$ une fonction strictement croissante et convexe, aussi régulière que souhaitable, telle que $h(L_1)=H$ (mais $h'(L_1)\neq 0$).

Je recherche une fonction biholomorphe de $\Omega$ vers un rectangle $R$ (par exemple $]0,L_2[\times]0,H[$) avec une expression explicite assez simple. D'après le théorème de représentation conforme de Riemann, je sais qu'il existe théoriquement une telle fonction, mais je n'en connais pas explicitement. C'est pour une simulation numérique où j'ai besoin de ramener $\Omega$ à un rectangle que je vais discrétiser par une grille. L'holomorphie a pour but de simplifier les calculs de laplaciens.
Merci d'avance

Poirot

Qu'est-ce qui te fait croire que c'est possible ? Déterminer explicitement des représentations conformes de domaines de $\mathbb C$ est notoirement difficile, et à part quelques cas particuliers simples, il me semble qu'on ne sait pas faire en général.

Calli

Ah rien ; je ne sais pas si c'est possible. Ça n'existe peut-être pas.
Merci pour ta réponse.

Georges Abitbol

Je confirme que j'ai entendu que c'était difficile...
Infos ici sur des cas particuliers du problème : https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz%E2%80%93Christoffel_mapping
Le pavé https://www.librairie-gallimard.com/livre/9782842250355-geometrie-vivante-ou-l-echelle-de-jacob-marcel-berger/ parle du problème p.132, mentionne la référence https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-02770-7 où apparemment, ça parle d'algorithmes extrêmement rapides.

Poirot

Merci Georges, je n'arrivais pas à retrouver le nom de Christoffel, dont j'avais déjà vu le résultat. La complexité pour un cas aussi simple (polygone) montre qu'il est sûrement sans espoir de s'attaquer à des choses plus compliquées...

Calli

Merci pour vos réponses ! Tant pis pour moi, je ferai autrement.